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摘要：矩阵相似在高等代数中占有非常重要的地位，近几年来也有许多学者对其进行了研究，本篇文章首先介绍了矩阵相似的概念，其次，对矩阵相似的性质、定理、引理、推论等进行了简单的总结，最后在矩阵相似的概念、性质、定理的基础上，对判断矩阵相似的条件、特征矩阵及矩阵的对角化等方面的应用进行探讨.并用大量的例题加以证明.39420
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毕业论文关键词 ：矩阵相似 ；矩阵；对角化问题；特征值；特征.
Similarity matrix and its application
Abstract : Matrix similarity holds the very important status in the higher algebra,incre- cent years also has many scholars carried on the research, this article first introduced the concept of matrix similarity , secondly , similar to the matrix properties, theorems, lemmas , inference has carried on the simple summary , finally in the matrixsimilar to the concept , the nature,the theorem based , for the judgement of the applications of the matrix similar conditions, characteristic matrix and matrix of keratosis were discu- ssed. And a lot of examples proved.
Keywords: similar matrix ; matrix ; diagonalization ; eigenvalue ; eigenvector .
目 录
摘 要 1
引言 2
1.预备知识 3
2.矩阵相似的条件 5
3.矩阵相似的应用 10
3.1矩阵相似与其特征矩阵的联系 10
3.2相似矩阵与矩阵对角化 11
参考文献 15
致谢 16
矩阵相似及其应用
引言：
矩阵相似理论源于十九世纪751七十年代，德国数学家弗罗伯纽斯首先给出了初等因子、行列式因子、不变因子等相关概念，它的理论和性质非常多，目前关于它们的研究也非常广泛，并取得了一定的成果.例如在社会科学、自然科学、工程技术等很多领域都存在矩阵相似的应用，这里就不一一举例了. 因此本文对矩阵矩阵相似概念及性质进行了归纳总结，并在此基础上研究其应用，具有一定的理论价值和应用价值.
已有许多文献对矩阵相似的性质和应用作了大量研究，文献[1][2][5]探究了矩阵的一些基本定义和性质；文献[6][7][讨论了矩阵相似条件、定理、特征矩阵及矩阵的对角化；文献[11][12][13]探究了矩阵相似在解题中的应用.
本文在通过广泛的数据和相关文献的基础上，结合自己的学习实践，根据矩阵相似的定义和性质，首先给出了相似矩阵的定义，然后总结归纳了相似矩阵的一些概念、性质和定理，及判断相似矩阵的条件.最后给出了相似矩阵、矩阵对角化和特征矩阵的应用及联系.
1. 预备知识：
1.1矩阵相似的定义
定义1 设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 使 ,则称 是 的相似矩阵，或者说 与 相似.记作 对 进行运算称 为对 进行相似变换,可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.
1.2相似矩阵的性质
性质1 对称性：如果 ,那么 ;
性质2 反身性： ;
性质3 传递性：如果 ， ，那么 ;
设 , ，则
若矩阵 与对角阵 = 相似，
则 ， … 是 的 个特征值.
因为相似关系具有对称性，所以当矩阵 与 相似时，也可以说矩阵 与矩阵 相似.
性质4 相似矩阵有相同的行列式；
证：设 与 相似，则有可逆矩阵 ，使 ，于是
= = = = .
性质5 相似矩阵有相同的秩；
证：设 与 相似，则有可逆矩阵 ，使 ，于是