-
摘要：本文主要是对幂零矩阵的一些性质与结论进行了归纳与总结,并且采用不同的方法分析证明这些性质与结论.利用幂零矩阵的特殊性讨论了三种特殊矩阵的逆的求法,给出了更多方便快捷的方法,并通过例子说明了其在实际中的应用.39419
- 上一篇：基于时间序列模型的人民币汇率分析与预测
- 下一篇：矩阵相似及其应用
毕业论文关键词：幂零变换；幂零矩阵；幂零指数；逆矩阵；特征值
The Discussion of Nilpotent Matrix and Nilpotent Transformation
Abstract :This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized ,and analyses prove that these properties and results using different methods .In this paper ,using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method ,given some quick and convenient method.And through the example is given to show is application in practical.
Key words:Nilpotent transformation;Nilpotent Matrix ;Nilpotent Index; Inverse Matrix;Characteristic Number
目 录
摘 要 1
引言 3
一 幂零变换与幂零矩阵的概念及引理 4
二 幂零变换与幂零矩阵的性质 5
三 幂零矩阵的应用 13
3.1幂零矩阵在求逆中的应用 13
3.1.1求幂零矩阵与非零数乘单位矩阵的和的矩阵的逆. 13
3.1.2求主对角线上的元素一样的三角矩阵的逆. 15
3.1.3求可表示为若尔当块的幂的和的矩阵的逆. 17
3.2幂零矩阵在其他方面的应用. 18
结束语 21
参考文献 22
致谢 23
幂零矩阵与幂零变换的探讨 引言
在高等代数的学习中，我们在学习矩阵乘法运算时给出了幂零矩阵的定义即若存在正整数 ,使得 ,则称A为幂零矩阵.但其的研究与探讨却少之又少,因此我们要加强对幂零变换及幂零矩阵的研究.本文则主要针对幂零变换与幂零矩阵的性质及性质的一些应用进行了深入研究,并给出了幂零矩阵在矩阵求逆中的应用,总结出更加方便快捷的方法.在最后通过例子说明幂零矩阵在实际应用中的作用.
谷国梁,韩道兰,罗雁,黄宗文,邹本强,江明星在文献[2][3][8][9]中给出了幂零矩阵的一些性质,并证明了幂零矩阵的性质;姜海勒在文献[5]中给出了对于一些特殊矩阵利用幂零矩阵的性质来求可逆矩阵的计算;胡秀玲,张秀福在文献[12]中证明了对于n文线性空间V,必存在一组基使得由V的幂零线性变换生成的矩阵为严格上三角矩阵;王兆飞在文献[13]中利用幂零线性变换的概念,在一般数域下讨论了幂零线性变换存在一组基使得在这组基下的矩阵为若尔当矩阵,从而给出了幂零矩阵的若尔当标准形;吴险峰在文献[7]利用了幂零矩阵的特征值,特征多项式,相似性等性质,给出了幂零矩阵的几种构建方法.
本文中就幂零矩阵的相关性质做了一个总结,对一些特殊矩阵的逆进行了求解,并证明了幂零矩阵的一些特殊应用.
预备知识
1.幂零变换与幂零矩阵的概念及引理
定义 设一个复杂的线性空间 上的线性变换 ,假设存在正整数 ,满足 ,所以 被称为幂零变换.满足上式的最小正整数 称为 的幂零次数，非零幂零变换的幂零次数大于1,此时 .
定义 设 为 阶方阵,若存在正整数 ,使得 , 被称为幂零矩阵. 满足上式的最小正整数 称为幂零指数,并称 是 幂零矩阵.显然, 阶零矩阵是特殊的幂零矩阵,其幂零指数为 .
定义 设 ,称 为 的转置,称
为 的随同矩阵,其中 为 中元素 的代数余子式.
定义 阶矩阵 , 称为 的迹,记为 .显然 的全体特征值的和等于 .