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定义 形如
的矩阵称为若尔当块,其中 是复数,由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵.
定义 设 是一个 阶方阵， 称为矩阵 的特征多项式.满足 的 的值称为矩阵 的特征值.
定义 次数最低的首项次数为1的以 为根的多项式称为 的最小多项式.
引理1 设 为 阶方阵，则 .
引理2 每一个 阶的复矩阵 都与一若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵 惟一决定,它称为 的若尔当标准形.
引理3 若尔当形矩阵的特征值为其主对角线上的元素.
引理4 , 分别为矩阵 的特征多项式和最小多项式，则有 .
引理5 相似矩阵具有相同的特征值.
引理6 阶复矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件为 的最小多项式无重根.
引理7 设 为 阶矩阵 的特征值,则有
.
且对任意的多项式 有 的特征值为 .
引理8 阶若尔当块 的最小多项式 且有 .
引理9 为 阶复数域上的矩阵,若 ,则存在可逆矩阵 ,使得
, .
引理10 任意的 阶 方阵，有 .
2.幂零变换与幂零矩阵的性质
定理 设 是数域 上的 文向量空间, 是 的线性变换,则 是幂零变换的充分必要条件为 在任意一组基下的矩阵是幂零矩阵.
证明 由于 是幂零变换,即存在正整数 使得对任意 ,有
设 是 的一组基,则 关于 的矩阵是 ,即
所以有 由于 是 的一组基,故 是幂零变换的充分必要条件为 在任意一组基下的矩阵是幂零矩阵.
性质1 幂零变换的特征根为零,幂零矩阵的特征值也为零.
证明 (1)设 为 文线性空间 的幂零变换,那么存在一个正整数 ,使得 .设 为 的任意特征值, 是 的属于 的特征向量,则有, ,其中 .因为 则 即 从而得出 .
(2)设 为幂零矩阵，则存在正整数 ，使得 设 为 的任意特征值,则存在 使得 由引理7可知 为 的特征值,即村子啊 ,使得 从而有 即有 又有 ,知 所以 ,所以 为 的特征值,由 的任意性可知 的特征值为零.
性质2 为 文线性空间 的线性变换, 为正整数,使 使 线性无关. 为非零的幂零矩阵, 是一个幂零指数,则 线性无关.
证明 (1)令 ,其中 ,而当 时, ,则 是 的一组基,至少有一个 使 否则对任意的 有 即 ,这与问题矛盾.
下面说明 线性无关.反之,存在不全为零的数 使 .设 是 中第一个不为零的数,则前面的等式可以变成 用 作用上式得两端则用 作用上面等式的两端,则得 又因为 因此 ,这与前面 的选择矛盾,因此 为所要求得向量,即原命题得证.