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摘要：基于可积耦合理论，首先介绍了构造孤子族的非线性可积耦合的一般框架．其次，引进一个新的李代数，由一个新的谱问题，根据Tu格式导出了Yang族及其Hamilton结构；根据可积耦合理论，构造出了Yang族的非线性可积耦合．最后，利用变分恒等式求得该Yang族非线性可积耦合的Hamilton结构．本文方法还可以应用到构造其它孤子族的非线性可积耦合．39423
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毕业论文关键词：李代数;零曲率方程;可积耦合;Hamilton结构
Nonlinear Integrable Couplings of the Yang Hierarchy and Its Hamilton Structure
Abstract: In this paper, based on the theory of integrable coupling. Firstly, it gives the general framework of constructing soliton hierarchies which is of nonlinear integrable couplings. Secondly, it introduces a new Lie algebra and by a new spectral problem, the Yang hierarchy and its Hamiltonian structure are deduced according to the Tu format. Then, it constructs nonlinear integrable couplings of the Yang hierarchy according to the theory of integrable coupling. Finally, variational identities are used to furnish Hamiltonian structures of nonlinear integrable couplings of the Yang hierarchy. The method can also be applied to construct the nonlinear integrable coupling of the other soliton hierarchies.
Key words: Lie algebra; Zero curvature equation; Integrable coupling; Hamiltonian structure
目 录
摘 要 1
引言 2
1．非线性可积耦合的基本理论 4
2．Yang孤子方程族 5
2.1一个新的李代数 5
2.2由新的李代数生成Yang孤子方程族 5
3．Yang族的非线性可积耦合 9
3.1由可积耦合理论构造Yang族的非线性可积耦合 9
3.2 Yang族的非线性可积耦合的Hamilton结构 14
4．结束语 19
参考文献 20
致谢 21
Yang族的非线性可积耦合及其Hamilton结构
引言
寻找孤立子理论中的可积系统，是可积理论中一个非常重要的研究课题．在物理、化学、生物、光学、量子力学等学科中孤立子理论得到了非常广泛的应用[1-4]．随着孤立子理论更深层次的发展，寻找新的可积系统族的可积耦合和它们的Hamilton结构成为一个非常重要而且有趣的课题.人们利用不同方法得到许多可积模型[5-14]，通过零曲率方程可以得到许多可积方程族.近年来，屠规彰教授提出了一个新方法，马文秀教授称它为Tu格式.人们利用Tu格式获得了很多具有物理意义的可积方程族.Tu格式的思想是从等谱问题入手获得方程族和它的Hamilton结构.
本文通过学习文献[15]从谱问题入手，根据Tu格式导出了Yang族及其Hamilton结构.
谱矩阵形式
， 表示加托函数，
其中分谱矩阵 与给定的可积方程 为已知的可积系统.在此种情况下的可积耦合，补充变量 的方程对于 是线性的.
如果第二个方程的可积耦合
对 是非线性的，所以称这个方程为非线性可积耦合方程.上面 和 两个变量可以是标量或矢量.
线性对称方程的可积耦合是重要的分类可积方程，非线性结构更加丰富.一个构造线性可积耦合的系统方法，定义和修正谱矩阵：
其中 可能不是一个方矩阵.然而，没有允许我们构建非线性可积耦合的方法.
怎样构建非线性连续可积耦合？选择谱矩阵如下：