-
摘要 对于著名的Aczel 不等式，前人已给出了众多的证明及推广.本文在总结前人给出的结果的基础上，从两个方面研究该不等式，一方面，通过对Aczel 不等式进行相关的变形，得到另一种形式的Aczel不等式；另一方面，通过引入参数 ，给出了满足 的Aczel 不等式，从而推广了应用广泛地Aczel 不等式.39581
- 上一篇：矩阵复原问题的可解性研究
- 下一篇：股票大盘指数马尔可夫预测法
毕业论文关键词 Aczel 不等式； Popoviciu 不等式；参数；推广
1.相关介绍
在1956年，Aczel证明了下面的不等式：
其中， 且
这就是著名的Aczel不等式.众所周知，Aczel不等式在许多领域有重要的应用，正因为如此，近年来，该不等式在其推广、变形和应用方面被广泛关注，已得到了大量相关的论文研究.
后来，Popoviciu[1]将Aczel不等式进行进一步的推广得到定理A.
定理A 设 均为大于0的实数 ， 且满足 则有如下不等式成立
且当且仅当 时，等号成立.
Vasic和Pecaric[1]对上述定理进行了更进一步的研究得到定理B.
定理B设 均为大于0的实数，且满足 ， 则有如下不等式成立
定理C设 均为大于0的实数 ， 且满足 则有如下不等式成立
当且仅当 时，等号成立.
2.Aczel不等式的变形
引理1 若 且 ， 均为大于0的实数且 ，则
.
证明：当 时，不等式显然成立。不妨设 ，
令 , ，则易知当 或 时， 不妨设 ，易知
，
.因为 ，则 ；又因为 ，则 .
由 ，有
即
上式两边同乘 次方且利用 ，有
即 ，从而有 .
利用极值第二充分条件:
设 在 的某邻域 内一阶可导，在 处二阶可导，且
若 则 在 处取得极大值；
若 则 在 处取得极小值.
由以上讨论可知： 在 处取得极小值.
从而有
.
则 .
即
从而 .
且当且仅当 时，等号成立.
定理1 设 均为大于0的实数， 且满足 则当 时有如下不等式成立
且当且仅当 时等号成立.
证明：（用数学归纳法）当 时，上述不等式显然成立.
当 时，即证
因为
存在实数 满足 ，由引理1可知：