凡是不满足该条件的点也都是极值嫌疑点.若 x x x f y n , , , 2 1 及 x x x n , , , 2 1 ) ; , , 3 , 2 , 1 n m m i ( 有连续的偏导数,且 Jacobi矩阵) , , , () , , , (2 12 1nnx x xx x x的秩为 m r (不妨设行列式 0) , , , () , , , (2 12 1nnx x xx x x ),那么函数 ) , , , ( 2 1 n x x x f y 在条件 x x x n , , , 2 1 ) ; , , 3 , 2 , 1 n m m i ( 限制之下的极值点,可用 Lagrange 乘数法寻求.3.3.1 判别条件极值的方法首先作 Lagrange 函数) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( 2 112 1 2 1 nmii i n n x x x x x x f x x x L ,然后解方程, 0 '1 x L , ) ; , , 3 , 2 , 1 ( 0 ) , , , ( , 0 , , 0 2 1' '2n m m i x x x L L n i x x n ,求出稳定点.这里i为待定常数,有时不一定要求出.最后,对稳定点进行判别,常用的方法是i)利用极值点的定义进行判别.ii)利用实际背景进行判别.iii)利用 Lagrange 函数的二阶微分进行判别.若在某稳定点 0 P 处(i用相应的值)) 0 ( 0 2 z d则 f 在此点 0 P 取条件极小(大)值,其中) ( ) ( ) ( 02221102P L dxxdxxdxxP L d nn ) , , 2 , 1 ( , 0 ) ( 01' 'n i dx x dx P L i j knix x j k 应满足方程) , , 2 , 1 ( 0 ) ( 0 m j dx Pxiij .3.3.2 结合实际背景、二阶微分进行判别例 1 求函数 z y x z y x f4 4 4, , 在条件 1 xyz 下的极值.该极值是极大值还是极小值?解 1 L 1 4 4 4 xyz z y x ,0 4 3 ' yz x Lx , (1)0 4 3 ' xz y Ly , (2)0 4 3 ' xy z Lz , (3)1 xyz . (4)解此方程组,得四解 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ..在这些点上 3 , , z y x f ,下面我们将证明这些点均为极小点,由对称性可知只需证明其中一个.例如 1 , 1 , 1 1 P ,考虑第一相线,因为在曲面 1 xyz 上, yy x z y x f4 44 4x1, , .在Oxy 平面上,以 2 ,41, 2 ,41 y y x x 四条平行于坐标轴的直线,围成一个矩形
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