下面这三种矩阵的变换就是其初等行变换:
1)以一个非零数乘矩阵的某一行;
2)把矩阵的某一行的 倍加到另一行, 为任意常数;
3)互换矩阵中两行的位置。
类似的,我们可以定义初等列变换,即
1)以一个非零数乘矩阵的某一列;
2)把矩阵的某一列的 倍加到另一列, 为任意常数;
3)互换矩阵中两列的位置。
我们约定矩阵的初等变换用以下形式表示:
1) 代表行, 代表列;
2)非零常数 乘矩阵的第 行(列): ( );
3)把矩阵的第 行(列)的 倍加到第 行(列): ( );
4)互换矩阵的第 行(列)和第 行(列): ( )。
矩阵的初等变换有个重要的性质:任何一个非零矩阵经过初等行变换总能变成阶梯形矩阵。
证明:不失一般性,假设非零矩阵 每行的首个非零元中列标最小的是 (若这样的元素不在第一行,就通过行的对换使之处于第一行),把 的第一行元素的 倍加到第 行( )的对应元素上去,得到:
。
若由第二行到最后一行组成的子块 ,则 就是阶梯形矩阵了;若 ,则对 作类似的初等行变换。如果需要的话就重复这个步骤,最终会将 化成阶梯形矩阵。
有了这个性质之后,我们就可以通过初等变换对任意非零矩阵进行化简,找到与原矩阵等价的阶梯形矩阵(甚至进一步化简到行最简形矩阵或标准形矩阵),简化矩阵的一些相关运算。
1.3 初等变换与初等矩阵
初等矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换后获得的矩阵。因此初等矩阵有下列三种形式:
1)互换单位矩阵的第 行(列)与第 行(列)。这样得到的矩阵我们记为 ,即: 。
2)把非零常数 乘单位矩阵的第 行(列)。这样得到的矩阵我们记为 ,即: 。
3)把单位矩阵的第 行(列)的 倍加到第 行(列)上去。这样得到的矩阵我们记为 ,即: 。
对一个矩阵进行初等行变换,相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵;进行初等列变换,相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵。接下来我们对初等变换的情况做一下简单的证明,初等列变换的情况可类似证出。
证明:把矩阵 按行进行分块:
,其中 。由矩阵的分块乘法,有: ,
这相当于将 的第 行和第 列互换;
,这相当于将 的第 行乘以数 ; ,
这相当于将 的第 行加上 倍的第 行。
2 矩阵的初等变换在线性代数中的应用
2.1 求矩阵的秩
我们已知矩阵的初等变换可以把任意一个非零矩阵化成标准形矩阵,同时我们注意到有很多不同的矩阵能化到相同的标准形。此外,一个矩阵可以通过初等行变换化成不同的阶梯形矩阵,其中非零行的个数却都是相同的。为此我们需要引入矩阵的秩的概念。
定义矩阵的秩为:设 为 矩阵, 是与 等价的行阶梯形矩阵。若矩阵 的非零行有 个,我们则称矩阵 的秩是 ,矩阵 的秩也是 ,记做 。
同时矩阵的秩与矩阵的初等变换有这样的关系:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
证明:先证明若 经过一次初等行变换变成 ,则 。
设 ,且 的某一个 阶子式 。
当 或 时,在 中一定能找到与 所对应的 阶子式 。因为 或 或 ,所以 ,从而 。
当 时,因为做变换 时结论已成立,所以只要考虑 这一特殊情况。需要分两种情况讨论:(1) 的 阶非零子式 不包括 的第一行,此时 也是 的 阶非零子式,所以 ;(2) 包括 的第一行,此时把 中与 对应的 阶子式 记做