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摘要：本文主要研究了SIR传染病模型和具有常量控制的SIR传染病模型.首先对SIR模型进行了简述与分析,定义基本再生数 ,借助Lyapunov函数,证明了模型的全局渐近稳定.结果显示:当 时,无病平衡点 是全局渐近稳定;当 时,地方病平衡点 是全局渐近稳定.在SIR传染病模型的基础上,引入被感染类的常量控制率系数 ,构造了具有常量控制的SIR传染病模型,采用与SIR传染病模型相同的研究方法进行探讨分析.最后,通过Matlab软件进行数值模拟,验证了以上结果的正确性.42965
毕业论文关键词：SIR传染病模型;基本再生数;全局渐近稳定;常量控制
Infectious disease models and their control
Abstract: This paper mainly study the global asymptotic stability of SIR epidemic model and SIR epidemic model with constant control. First, the dynamics of SIR model is outlined and analyzed. Based on the basic reproduction number and Lyapunov function method, the global asymptotic stability of the model is investigated. It is shown that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable when ; the endemic equilibrium is globally asymptotically stable when . Then, the constant control is applied into above model. The global asymptotic stability of SIR model with constant control is analyzed on the basis of the mean of Lyapunov function. Finally, some examples are given to show the effective of the theoretical results by using Matlab software.
Key words: SIR Epidemic Model; Basic Reproduction Number; Global Stability; Constant Control
目 录
摘 要 1
引言 2
1.SIR传染病模型 3
1.1 模型的简述与建立 3
1.2 基本再生数 4
1.3 平衡点的存在性与稳定性分析 5
1.4 模型的数值模拟 7
2.具有常量控制的SIR传染病模型 9
2.1 模型的建立 9
2.2 基本再生数 9
2.3 平衡点的存在性和稳定性分析 10
2.4 模型的数值模拟 13
3.结束语 14
参考文献 15
附录 16
致谢 20
传染病模型及其控制引言
随着卫生设施不断改善,医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效控制[1].但现今诞生了具有适应性强的病毒,并且悄无声息地向人类袭来.在20世纪80年代,非常凶恶的艾滋病毒就开始肆虐全球,时至今日仍在蔓延.尤其，近几年的非典SARS病毒、高致病性禽流感(H5N1)、甲型流感(H1N1)和情流感(H7N9)等疾病给国民经济、人身健康以及正常社会生活造成严重影响.归根结底是人们对于传染病的传播方式和预防措施了解不多. 数学模型已被广泛地应用于研究传染性疾病.建立合理的传染病模型,有助于我们更好的了解疾病的传播过程.因此,以微分方程为主建立的数学传染病模型,并进行研究传染病的流传机理、传染疫情的演变规律和控制疫情恶化的措施等,目前仍然是许多专家学者关注研究的热门问题[2].
一直以来,人们对流行病疫情主要是依靠积累大量经验,并进行数据统计分析.在漫长的研究过程中,人们不断地吸收最新数学和物理成果,使统计方法不断得到改进,因此这种曾在历史上起过很大作用的方法直到今天仍然是很重要的研究手段[3].近些年,有许多学者开始关注比较复杂且模拟实际效果较好的传染病模型.例如, Daley,Gani.[4]介绍了几类传染病模型的研究;Axler, Gehring,Ribet[5]详细介绍了比较复杂的SIR传染病模型;Zhao[6]与Mendez, Fort[7]研究了SIR传染病模型动力学性质,并为比较复杂的传染病模型提供了新的研究方法和理论依据.下面我将针对SIR传染病模型进行探讨分析,由原本相对简单的模型进入较深层次的研究.考虑到感染类人口受到常量控制的影响,建立更为一般的传染病模型,并为预测和控制传染病疫情提供有效帮助.