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经过以上的描述和分析,可将本文分为三部分:第一部分主要是对SIR传染病模型进行简述和模型分析,定义基本再生数 ,构造Lyapunov函数探讨分析模型的全局稳定性,并采用Matlab软件对该模型实现了数值模拟验证.第二部分是在SIR传染病模型的基础上-751;文'论[文]网www.751com.cn,引入被感染类的常量控制率系数 ,采用与SIR传染病模型相同的研究方法进行分析探讨,并给出一些例子,验证理论分析结果.第三部分是结束语.下面我们就针对这两个模型进行分析讨论.
1.SIR传染病模型
1.1 模型的简述与建立
早在1905年左右就有学者尝试采用以微分方程方程为主的数学模型来研究流行病的流传机理,并逐渐受到许多研究者的重视.在1927年Kermack等人[8]提出了关于流行病的SIR模型,同时在印度孟买发生的瘟疫为其提供了大量病情数据,使得该模型得到有效验证.一直以来有很多的研究学者对SIR传染病模型进行应用以及推广,由原本相对简单的模型进入更深层次的研究,考虑更多的影响因素,使传染病模型更具有实用性和说服力,可以更好地为预测和控制流行病疫情提供有效帮助.在1979年Spicer[9]建立了离散的传染病SIR模型,并预测了流感在英格兰与威尔士的流行情况.还有Axler, Gehring, Ribet[4]对经典SIR模型探究做了详细地介绍.下面针对SIR传染病模型探讨分析,并采用Matlab软件对模型实现了数值模拟验证.
首先假设某地区的人口总数是 ,在相对理想条件下,把人口总数划分为三部分:易感者、被感染者和治愈者,并分别用 , 和 表示在 时刻易感者、被感染者和治愈者的人数变化情况.其中,所有参数 都是正常数.即 是易感者的输入人口总量, 是自然死亡率, 是疾病的传染率, 是治愈率, 表示在t时刻的人口总数,则有 .