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本论文重点参考了文献[2],文献[5],文献[12];在引用文献[2]中,介绍了泰勒公式法,函数凹凸性,詹森不等式;在引用文献[5]中,介绍了经典的不等式赫尔德不等式,杨格不等式;在引用文献[12]中,介绍了著名的闵可夫斯基不等式,施瓦兹不等式和它的应用.
本文在匡继昌,王松桂等人研究的基础上,对于詹森不等式, 施瓦兹不等式,平均值不等式用了自已简便高效的方法加以证明;用定积分理论法,变上限积分函数两种方法对施瓦兹不等式做了证明,然后用施瓦兹不等式证明了闵可夫斯基不等式;最后,对于其它不等式的证明方法,给出对应的应用加以理解和掌握.
本文结构
全文分为四部分,具体如下:
在文章开头,介绍了摘要,说明本论文研究的是数学分析中不等式证明的常用方法,用了构造变上限积分,詹森不等式,杨格不等式等方法,说明本论文研究的方向.
第一部分较为详细地交代了本文的研究背景,同时简要介绍了本论文的构.
第二部分介绍了要用到的定理和定义,以及一些比较经典的方法,并对定理和方法进行了证明,在证明的过程中,除了引用外,又用其它方法进行了创新.
第三部分详细介绍了定理,定义的应用,对其中个别的应用,用了自已的方法给出了创新,可以让我们更好地掌握本论文的结构和知识层次,加深对本论文的理解.
第四部给出了本论文的总结,参考文献，致谢,以及对未来学习的展望.
1.不等式证明的方法
1.1构造变上限积分函数
定义1 设 在 上可积,对 , 在 , 上可积,称 和 为变下限和变上限积分,统称为变限积分.
1.2函数单调性
定义2 设函数 在 内可导, 则 在 内严格递增(递减).
1.3柯西中值定理
定理1 设 都在 上连续, 与 都在 内可导,且 , 在 内不同时为零,且 ,则存在 使
证明: 作辅助函数
可知 在 上满足罗尔中值定理条件,故存在 使
因为 否则上式 也为零,所以化简可得要证明的柯西中值定理.
1.4定积分理论法
定义3 对于可积函 可以先证明 ,随后由定积分性质可得
1.5函数极值法
定义4 设函数 在点 领域内有定义,若对任意 有 (或 则称 为函数 极大（或极小值点）.
设 的驻点为 ,若 ,则 为 的极小值点;若 ,则 为 的极大值点.