韦达定理及其恒等式研究(2)

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4．结束语 18

参考文献 18

1．引言

高等代数作为初等代数的拓展和提升，也是高等数学中的一门重要的基础课程，同时也是初等教育中数学课程的一大组成部分，学生经由抽象性、逻辑性以及应用性的训练，慢慢具有运用代数的方法解决具体问题的思维模式和习惯。高等代数中的重要内容之一的多项式理论，在数学的其他分支领域（尤其是在初等代数）中有着相当广泛的应用，尤其在根与系数的关系上，就是我们通常所说的韦达定理。同时在方程论中也有着重要的应用，通过它可以更深入探讨方程根的性质，也能够将一些表面上看起来不是一元二次方程的问题转变到一元二次方程上来讨论。本文通过列举韦达定理的简单应用，进而探讨把韦达定理推广到一元n次方程中的简单应用。

2．韦达定理——一元二次方程中根与系数的关系

弗朗索瓦·韦达（François Viète），1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于巴黎。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》。

韦达对于代数学的推进作出了巨大的贡献，他是第一个引入代数符号，发现了代数方程中的根与系数之间的关系（也就是我们通常所说的韦达定理），同时也推动了方程论向前发展。

韦达定理，作为当前解决数学问题的重要工具之一，研究和发展韦达定理具有重要的意义。弗朗索瓦•韦达发现的根与系数的关系出版在他的著作《论方程的识别与订正》中，并提出了这条定理。因为韦达是第一个发现根与系数之间的关系，于是人们便将这个关系称之为韦达定理。

同时，在求解根的对称函数时，探讨二次方程的根的符号、对称方程组的求解和一类二次曲线方面的问题的求解都表现出独特性。韦达对于代数学的推进作出了巨大的贡献，他是第一个引入代数符号，同时也推动了方程论向前发展，用字母表示数，得出了根与系数存在的关系`751~文[论]文'网www.751com.cn。韦达定理是一元方程的研究的基础，也对一元方程的应用创造拓展了发展空间。

韦达证明是需要通过代数基本定理来推导的，但是，代数基本定理是高斯最早作出实质性的论证论文网。韦达定理中包括了很多的数学内容，同时它的应用也很广泛。韦达对当时的代数内容和方法是用“分析”来描述的。他采用了丰富的代数符号，用字母表示未知数，进而全面阐述并改进了有关三、四次方程的解法，总结出了根与系数之间存在的关系。

设一元二次方程ax^2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)的两根为x_1,x_2，由求根公式知x_1,2=(-b±√(b^2-4ac))/2a，则有

x_1+x_2=(-b+√(b^2-4ac))/2a+(-b-√(b^2-4ac))/2a=-b/a

x_1·x_2=(-b+√(b^2-4ac))/2a·(-b-√(b^2-4ac))/2a=c/a

一元二次方程的根的判别式为∆=b^2-4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理和根的判别式是联系在一起的。根的判别式作为判定方程是否存在实根的重要条件，韦达定理阐释了根与系数存在的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数都适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。通过韦达定理，我们可以高效地求解两方程根之间的关系，应用广泛的韦达定理，存在于初等代数、解三角形、解析几何、方程论中。下面简单列举几例。