数形结合在中学数学中的应用(2)

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6.7、数形结合思想与函数最值、值域 13

6.8、数学结合与抽象函数及立体几何图形问题 13

6.9、数形结合与解析几何 14

7、结论 15

1、数形结合思想基本知识

数学思方法有三个层次。第一层是数学的一般方法，包括待定系数法、配方法、割补法、换元法、判别式法等；第二层是逻辑学中的方法（或思维方法），包括分析法、综合法、归纳法、反证法等；第三层就是数学思想方法，包括函数和方程思想、分类讨论思想、化归思想，数形结合思想也是其中重要的思想之一。

将抽象思维与形象思维结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来是数形结合思想的两大特征。华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微。”在解题思想当中，数形结合思想是占重要地位的。运用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决，最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来，“以形助数，用数解形”。这种思想是近年来中考以及高考的热点之一，也是中高考的高档题。

在中学数学教学中，利用数形结合思想进行解题的类型主要有：

以“数”化“形”：有时题目中所蕴含的代数关系比较抽象，我们难以轻松解决题目论文网，相反形更加形象直观，所以我们采用以“数”化“形”，利用图形来解决问题。

以“形”变“数”：有些时候单单看图形也很难解决题目，所以还要借助代数的计算，仔细观察图形的特点，充分利用图形的性质与几何意义。

“形”“数”互变：在解题的时候，有些问题不单单能通过前面两种类型来解决，所以需要两者结合，相互转化，做到形中有数，数中有形。

2、数形结合思想的研究背景

现实世界的数量关系和空间形式一直以来是数学的研究对象，而经过长期的历史演变及发展，人们发现这两者是可以相互联系，可以相互转化的。

早在很早数学刚出现在人们的思维中的时候，人们在测量长度、面积和体积的过程中，就意识到数和形是可以联系起来。我国早在宋元时期就有人用几何的知识来解决代数的问题。

华罗庚先生早在1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子里就提到了“数形结合”。

3、数形结合思想的研究意义与作用

随着数学的发展，数学思想也在发展，同样，由于数学思想的发展`751*文+论]文|网\www.751com.cn，人们能够解决更多的数学问题，从某种意义上说数学思想也在推动着数学的发展。数形结合思想作为一种中要的数学思想，在数学计算中也占有重要的地位。数与形的转化，相互渗透，可以把代数之间的关系和几何图形的直观描述相结合，使抽象思维和形象思维有机结合。在现实生活中也好，研究数学也好，我们不能把数与形孤立开来，它们作为数学研究的两个方面是分不开的，把数与形结合起来就是把直观与抽象的结合起来，也就是把认知与思维的结合起来。代数是对图形的定量分析，图形是代数的直观反映。将已知转化角度来思考，结合图像的直观性质，巧妙使用数形结合的方法能使很多概念和关系更明朗具体，减少思维的阻碍，提供简单快速的解题思路，使我们在难题面前豁然开朗，并且简化解题过程，从而解决问题。使用数形结合时要注意数与形之间的转换，它可以把代数关系转化为图形直观，也可以把图形直观转化为代数关系。