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4. 对 于 某 些 特 殊 的 不 等 式 , 可 以 采 用 形 似 法 , 即 做 出 与 不 等 式 两 边 类 似 的 辅 助函 数 F( x ) 论文网, 利 用 它 来 证 明 .
对 用 以 上 方 法 所 求 的 辅 助 函 数 F( x ) , 要 求 它 求 导 简 单 . 具 体 说 , 所 做 的 辅 助 函 数 F( x ) 的 分 母 应 该 不 含 对 数 函 数 或 反 三 角 函 数 .
二、 高等数学中不等式的证明方法
1、利用函数单调性证明不等式
利 用 单 调 性 来 证 明 不 等 式 是 高 等 数 学 中 一 种 最 常 用 的 方 法，其 适 应 范 围 很 广`751|文\论*文-网www.751com.cn。它 的 解 题 思路 是 将 所 要 证 明 的 不 等 式 作 某 些 必 要 或 适 当 的 变 形 之 后，选 取 适 当 的 函 数 F( x) 及 区 间［ a ，b］，再 利 用 导 数 确 定 函 数 F( x) 在 区 间［ a，b］内 的 单 调 性。如 果 当 一 阶 导 数 不 能 确 定 函 数 的 单调 性 时，则 利 用 高 阶 导 数 来 判 断 函 数 的 单 调 性，然 后 取 函 数 F( x) 在 区 间［a，b］端 点 处 的 函 数值，则 可 以 得 证 不 等 式。
定理：设y=f(x)在［a、b］在连续，在（a、b）内可导。若在（a、b）内f’（x）>0(f’(x)<0),则f(x)在［a、b］上单调增加（减少）.
例题1 当x>0时，证明arctanx+ > .
证明 设F（x）=arctanx+ - , 则F’(x)= - <0.
所以，
F（x）在区间0，+ ）内是递增的，
且，
F(x)=arctanx+ - >0, 即arctanx+ > .
例题2 当x>0时，证明1+ > .
证明 设f(x)=1+ ,
则，
f’(x)= = ( ).
由于，
F（x）在区间（0，+ ）上有F’(x)>0, 则，
F（x）在（0，+ ）上是单调递增的， 因此，
当x>0时，F（x）>F(0)=0. 即，
1+ > .原不等式成立.
例题3 证明：对任意实数a和b，成立不等式 ≤+
证明：取f(x)= ，（x≥0）.f’(x)= >0 ,在［0, +∞］内f(x)↗↗.于是，由≤+，就有了f() ≤f(|a|+|b|),即