例2.1.1
定义 2.1.1:若对任意的正数 ,总存在自然数 ,对任意自然数 ,有不等式 ,则称数列 的极限是 ,记为:
判断下面两个叙述,其是否与 的定义 1等价,
(1) 有无穷多个 ,对每个 存在 ,对任意的自然数 ,有 .
(2) 对任意正数 ,有无限个 ,使得 .
以上(1)、(2)从表面上看与定义 1的描述非常相似,但仔细分析后发现其是不同的.
叙述(1)对 虽有无穷多个且对每个 都存在 ,使对任意 时都有 ,但忽视了 这个量不仅是任意的,而最本质的是“任意小的正数”,而无穷多个 ,不一定能做到任意小.
例如, 数列{ }( = ),尽管有无穷多个 >0,不一定能做到任意小.如 =3、4、5,可以使 (这里 可以0或1)小于3或4或5,等等,但却不能使 比任意小的正数 还要小.叙述(2)对任意的 >0虽有无穷多个 ,但它忽视了对每个 ,都必须存在某个自然数 ,即数列{ }中的某一项 ,从 之后的所有项都必须满足 .
例如,数列{ }={1, ,1, ,1, ,1, ,}在0的任意 邻域 内都有无穷多个 = (取足够大的 之后),但在{ }中不论从哪一项开始,其后总有不含在(0- 、0+ )内的项,这明显与极限的定义(1)中的“存在 不符合,对任意自然数 有 ”的要求.
因此推出(1)和(2)两个叙述与定义1不等价.
例2.1.2
定义2.1.2 设 在 的去心邻域中有定义,若对任意的 ,总存在 ,对任意 :当 时有 . 则称 当 趋于 时,存在极限 .
定义 2中首先设在 的空心邻域中有定义,且 ,这些都意着 在 是否存在极限与 在 是否有定义是无关的.但我们刚开始接触此概念时,容易以为若 在 有极限,那么 在 必然有定义,这通常都是对函数极限定义理解不准确、不全面的表现,事实上函数 在 是否存在极限与函数 在 是否有定义没有关系,其中包含两层含义:
一是 在 点可以没有定义,