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凸分析是数学中相对年轻的一个分支。凸函数与凸集作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。本毕业论文以凸集 、 凸函数为出发点，将凸分析的基本知识与经济学巧妙地结合起来，从而解决经济学中的基本问题。首先介绍凸集 、 凸函数的性质及判定条件，然后将其拓展到凹函数，研究无限制条件下及限制条件下的优化问题，并引入了隐函数定理与不动点定理。最后，介绍了凸分析的经济应用，即讨论了垄断厂商在收益率规制下的一般均衡的存在性。7082
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关键词 凸集 凸函数 优化问题 一般均衡Title Title Title Title Convex analysis and its application in economics
Abstract Abstract Abstract Abstract
Convex analysis is a young branch in mathematics. As the main research object of
convex analysis, convex functions and convex sets are very important. Their
definitions, properties are often regarded as tools to solve the problems in areas such as
mathematical programming theory, game theory, mathematical economics,
approximation theory, optimum control theory and so on .
In this paper we take convex sets and convex functions as the starting point, and
connect the basic knowledge of convex analysis to economics, so that we can solve the
problem in economics. First we will introduce convex sets and convex functions,
discussing their properties and the judgment theorem, then extend it to concave
function, to solve optimization problems under constraints or without constraints. We
also introduce the implicit theorem and fixed point theory. Finally, we introduce the
application of convex analysis , namely discuss the existence of general equilibrium in
the rate of return regulation.
Key word s convex set; convex ， function: optimization problem; general equilibrium目 次
引言 1
第一章 凸集 3
1.1 仿射集 3
1.2 凸集 5
1.3 凸集分离定理 8
第二章 凸函数 11
2.1 凸函数及其基本性质 11
2.2 凸函数的判定定理 13
2.3 凸函数的代数运算 15
第三章 凸分析经济应用基本知识 17
3.1 凹函数与拟凹函数 17
3.2 无限制条件下的最优化及欧拉定理 20
3.3 拉格朗日乘数法与非线性规划 2 3
第四章 应用凸分析解决实际问题 27
4.1 背景知识 2 8
4.2 收益率规制下的一般均衡的存在性 2 9
结论 40
致谢 4 1
参考文献 4 2引言引言引言引言
凸分析 ， 或称凸集和凸函数理论 ， 是数学中相对年轻的一个分支 ， 在上世纪三十
年代才出现比较系统的研究凸集的著作 ， 四十至五十年代 ， 特别是在优化领域发现了
凸集的许多应用以后 ， 这一理论得到进一步的发展 ， 随着数学规划论 、 对策论 、 数理
经济学 、 逼近论 、 变分学 、 最优控制理论等学科发展的需要 ， 凸分析日益受到大家的
重视， 60 年代后期出现凸分析的奠基之作，即 R.T.Rockafellar 的 “ Convex Analysis ” ,
而无穷文空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展 ， 到现在 ， 凸分析已经
成了解决数学规划论 、 对策论 、 数理经济学 、 逼近论 、 变分学 、 最优控制理论这些方
面问题的主要手段。
凸分析的基本研究对象是凸集和凸函数 ； 基本工具是凸集分离定理 。 这些概念和
定理都可以纯代数的来研究，也就是说可在一个不引入拓扑的线性空间中来研究 。 因
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