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此，就凸分析的基本内容而言，凸分析完全可表达为 “ 凸代数 ” 。有的数学家甚至连
线性空间的框架也抛开 ， 在一个仅有抽象凸性的 “ 凸空间 ” 中讨论凸分析 。 但是过分
的抽象 ， 使得到的结果太一般 ， 对于在各学科的实际应用并没有多大的意义 。 相对比
较合适的框架是拓扑线性空间 ， 因为引进拓扑后 ， 能使 （ 无限文空间的 ） 对偶空间缩
小，有关对偶性的讨论就更为精确，这一工作正是由 Moreau 所做。然而，从应用的
角度来看 ， 不少人认为对于数学规划论等分支学科来说 ， 在有限文空间上讨论就足够
了。
西方经济学的核心问题是最优化问题，微观经济学与宏观经济学的动态分析是
建立在最优化理论上的 ， 而最优化理论又与凸函数和凹函数密切相关 。 由于经济资源
总是 “ 稀缺 ” 的 ， 即一切经济资源都是有限的 ， 因而经济学中的最优化问题常常是限
制条件下的最优化问题 。 在最优化理论中 ， 凸性曾经作为方法和假设 ， 然而在诸如数
学规划理论这样一些分支中，凸性代表了处理具有广泛应用的最优化问题的自然结
构。利用凸性的条件就可以避免关于连续性和可微性这样一些很强的限制。
本文对凸分析的理论做了一个大体的叙述，其中包括仿射集、凸集中的一些基
本概念 、 凸函数的性质与判定条件等 。 论文前半部分的叙述是要读者对凸分析的理论
有个比较清晰的认识 ， 论文的后半部分 ， 也就是我们的主要工作 ， 是将凸分析的知识
与经济学紧密地结合起来，并用以解决实际的经济问题。本文的主要安排如下：第一章，首先讨论仿射集、凸集，在这基础上引入凸集
分离定理 ； 第二章 ， 引入凸函数 ， 介绍它的判定条件 、 运算与性质 。 第三章 ， 将逐步
把凸分析的知识引入经济学中 ； 在最后一章 ， 我们将应用凸分析中的知识解决收益率
规制下的一般均衡的存在性问题。第一章 第一章 第一章 第一章 凸集凸集凸集凸集
凸集是凸分析中最重要的基本概念之一 。 本章首先介绍仿射集与凸集的一些基本
概念与性质，随后研究凸集分离定理。
1.1 1.1 1.1 1.1 仿射集 仿射集 仿射集 仿射集
定 义 1.1.1 设 M 是 X 的子集 ， 若对任 意 x ， y ∈ M 和 λ ∈ R ， 都有 (1 ) x y M λ λ + − ∈
则称 M 为 X 的仿射集。
定理 1.1.1 M 是 X 的一个线性子空间当且仅当 M 是一个包含原点的仿射集。
证明：必要性 每个线性子空间都包含 0 ，而且对于加法及数乘是闭的，因此是
一个仿射集合。
充分性 设 M 是一个包含 0 的仿射集合，对每个 , x M R λ ∈ ∈ 有
(1 )0 x x M λ λ λ = − + ∈ .
因此 ， M 关于数乘是闭的。对 , x y M ∈ ，由仿射集合的定义
由前面所证， M 对数乘是闭的，所以0 (1 ) , (1 ) u v M x y M x λ λ λ λ + − ∈ + − ∈ − .
又， 0 M x − 是一个仿射集合， 0 0 M x ∈ − ，所以 0 M x − 是 n
R 的一个线性子空间。
同理 1 M x − 也是 n
R 的一个线性子空间。
下证 0 1 M x M x − = − .
由于 0 1 1 0 1 ( ) x x x x M x − = − − ∈ − ，由前面所证 1 M x − 是线性子空间，因而，其负
向量 1 0 1 x x M x − ∈ − ，又由于 0 1 1 0 ( ) M x M x x x − = − + − 且 1 0 1 x x M x − ∈ − ，因此有
0 1 M x M x − = − 。
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