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         (8)倒数法则  

    2.2 几个重要的不等式

         (1)柯西不等式

           ①二维形式的柯西不等式:            。

             当且仅当 时,等号成立。

           ②三维形式的柯西不等式:            

             当且仅当 时,等号成立。

           ③一般形式的柯西不等式:

            对任意两组实数 ,有          

             当且仅当 时,等号成立。

    柯西不等式可以说是中学数学中最重要的不等式之一了,在高中数学中占了相当一部分篇幅。有很多方法来证明柯西不等式,可以从构造函数方法、变换和数学归纳法等角度都可以对它进行验证。柯西不等式的应用也非常广泛,很多特殊不等式、重要不等式都可以用柯西不等式加以推导证明,利用柯西不等式可以解决很多问题。根据已知关系式和待证表达式之间的关系,判断是否有利用柯西不等式的式子结构,或者通过适当拆分、配凑和变形等将柯西不等式加以应用,解决问题。

         变式:如果将柯西不等式变形,可以得到

          ,将式子的左边看作是一个函数,右边值确定时,就可知 的最大值和最小值,当且仅当 =…= 时,可以取到最大值和最小值。相反的,若是将柯西不等式右边的一个因式或者两个因式的乘积当作函数,当其他因式已知的时候,就可以求出这个函数的最小值。

         (2)均值不等式

           ①算术几何平均不等式:

              ;当且仅当 时,等号成立。

           ②一般形式均值不等式:

            若 ,则                   ,

    其中等号当且仅当 时成立。

           推论1:若 , ,则 ,其中等号成立当且仅当 。

           推论2:   当且仅当 时,等号成立。

           (调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数)

      均值不等式是一类比较主要的不等式,被广泛于现代数学,是应用最为广泛的不等式之一,其中最主要的当属算数集合平均不等式,是研究最值问题,比较大小的有力工具。当问题中变量都是或者可以转换为正数,变量之和或之积是常数且各变量有相等的可能的情况下,可以利用均值不等式求解。

    3 数学竞赛中的不等式问题

    3.1 数学竞赛中的柯西不等式应用

        柯西不等式是数学竞赛中的一大考点,应用广泛。有关柯西不等式在数学竞赛中的应用,主要将柯西不等式利用在证明不等式,求极值问题或者与其他知识相结合组成题目。在不等式问题中,通常需要将数学知识有机融合利用,掌握丰富的数学方法与思想。下面将主要通过实例来说明数学竞赛中的柯西不等式的应用,以及如何利用它来解决问题。

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