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摘 要：首先给出相关引理，再给出Young不等式与Young逆不等式及其证明，进一步得出了Holder不等式的证明，建立了这些重要不等式之间在初等数学阶段的联系，并为其在各个领域的应用打下了良好的基础关键词：Young不等式；Holder不等式；Minkowski不等式；推论与应用7184
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The Holder Inequality and Its Application
Abstract：Firstly, related lemmas, then gives the Young inequality and Young inverse inequality and its proof, the proof of the Holder inequality, established in the stage of elementary mathematics relation between these inequalities, and its application in various fields to lay a good foundation．
Key Words：Young inequality; Holder Inequality; Minkowski inequality; inference and Application
目 录
摘要. 1
引言 2
1.预备知识 3
2.Holder不等式 5
2.1Holder不等式的定义及证明 5
2.2 Holder不等式的积分形式及证明 6
3.Holder不等式的推广及其应用 7
3.1 Holder不等式的推广 7
3.2 Holder不等式的应用 7
4.结束语 10
参考文献 11
致谢 12
Holder不等式及其应用引言
Holder不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科中发挥了重要作用，使用的技巧灵活多变，得到的结果极为深刻.然而在数学知识体系中Holder不等式的证明出现较晚，限制了它的早期转播和使用的可能性.
鉴于此，邢家省等大家对Holder不等式的初等证明、几何算术平均不等式的初等证明、Young不等式和Young逆不等式、贝努利不等式等的应用做出了重要贡献;厉倩等学者在Holder不等式的再推广及积分形式的推广做出了很大的成绩.所有得出的这些成就，可使Holder不等式在初等数学阶段给予介绍，有利于传播和使用，并揭示了相关结果的本质，能够是很多问题得到新的简单的直接的解决，充分体现了数学的威力，通过训练这些知识的技巧和能力，为今后的发展奠定了基础.
总之, 著名的Holder不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Holder不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了Holder不等式在解决问题方面的应用.
1.预备知识
为了方便本文的证明，首先给出一些必要的引理及其证明．
引理1[1] 对任意实数 , 成立.即
对于 , 成立，即 ；由此可得，对 ，成立
.
引理2 设 ，则成立
.
证明 在不等式 中，取 ,
,得出
，
两边对 求和，则成立.
引理3[2] （Young不等式) 设 , 则对任意 ，
成立
,
其中 等号成立的充要条件是 .
证明 当 ，不等式显然成立；
设 ，注意到当 ， 时，有 ，等号成立当且仅当 ,设 ，令 ，代入上式，且同乘以 ,得