1.反证法的基本概念
反证法是数学应用中比较常用的一种证明方法,而且有些题目也只能用反证法来证明.其实反证法就是假设要证明的结论不成立,然后反着向已知推导,结果得到与已知或公理相矛盾,从而假设不成立.
反证法解题的过程可以简洁的概括为“否定——得出矛盾——再否定”.也就是说从否定结论开始,在达到新的否定之后结束,中间应用逆向思维得到关于否定结论的矛盾,它的基本思想就是辩证的“否定之否定”.应用反证法就是:想要证明“若...则...”为真命题,从相反的结论开始,找到矛盾所在,从而得到原命题为真命题.
2.中学数学中的反证法
2.1反证法在代数学中的应用
中学数学中关于反证法的知识模块可分为代数学、几何学、概率与数理统计三个方面.因此,反证法在中学数学中的应用可以从这三个方面分别进行阐述.
在代数学中的“整数问题”看似很简单,但是要得到所需求证的结论是比较难的.如果能用反证法的逆向思维来证明所需结论,就会简单一些.比如下面这个例题.
例1 设 为奇数, 为 的任一排列,求证: 必为偶数.
证明 假设 是奇数,则 都是奇数
又因为 为奇数,
所以这 个奇数的和还是奇数.则 是偶数,不是奇数,发生矛盾.
因此命题得证.
从上面的这个例子,如果用正向思维证明“ 比为偶数”,就要从题目中给的条件入手,而此例题中所给的条件不足以证明出结论,这个时候就会想到“正难则反”,用反证法的基本思想就是“否定结论”,在否定结论之后,就会多出一个条件,以假设成立的结论推导命题的已知条件,若与命题的条件相符合,则假设成立;如若不符,则假设结论不成立,那么原命题成立.
在反证法在代数问题中还有一个“方程问题”.从下面这个例子,可以看出来此类问题运用反证法和上述例1中叙述的“整数问题”运用反证法的过程都是大致相同的.
例2 设 为互不相等的非零实数,求证:三个方程 , , 不可能都有两个相等的实数根.
证明 若题中方程都有两个相等的实数根,
则所以故 ,这与已知矛盾,原命题得证.
上述问题中是证明“三个方程中不可能都有两个相等的实数根”,而条件只给了一个,直接从这个条件出发就要把“ ”分别代入三个方程中算出结果,这样的过程过于复杂繁琐,如果用反证法的思路证明这个问题,就如上题所表述的过程一样,就会简化这个问题的证明过程,这个例题充分的体现出在“方程问题”中应用反证法证明的优势.
反证法在代数学中的另一个问题是“函数问题”.“函数问题”是代数中处理起来较为麻烦的一种,但是一旦运用逆向思维方式进行分析,很明显的就得出来,反证法于这类问题中的优势.
例3 是否存在这样的实数k使得二次方程 有两个实数根,且两根都在2与4之间?如果有,试确定 的取值范围;如果没有,试说明理由.
解 假设存在符合题意的 值,设函数
则其图像为开口向上的抛物线,顶点应在 轴下方,且在 与 之间.
所以即这个不等式组无解.
所以不存在满足要求的 值.
上述这个例题中,如果用正向思维解题,就要分情况考虑问题:源^自'751;文,论|文{网[www.751com.cn,而求解过程就会极其繁琐,然而用反证法的思路就同例 一样简单,只需应用假设的结论进一步推理,就能得出一组不等式,最后由这一组不等式的解就能推断出题目所求.