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定理3.1 若 为对合矩阵，则 ， 也是对合矩阵．
证明 因为 是对合矩阵，
故 ， 是对合矩阵．
定理3.2 若存在矩阵 ,既为对称矩阵又为正交矩阵，则 矩阵必然为对合矩阵.
证明 因为 是正交矩阵，所以
又因为 是对称矩阵，即
将后式带入前式得
则 是对合矩阵.
定理3.3 以下8个命题是等价的；
（1） 是对合矩阵；
（2） 是 的化零多项式；
（3） ；
（4） ；
（5）
存 阶矩阵 在数域 上，使得
其中 秩 ；（6）秩 秩 秩 ；
(7) ,其中 表示 的列向量所生成的向量空间 的维数；
（8） .
证明 采用循环证明方法
由于 是对合矩阵，则
显然有 ，即 是 的化零多项式；
因为 ，即 ，于是
注意到 ， ，且令秩 .则可以从 中取出 个线性无关的列向量，不妨设为 .
又知秩 秩 秩 秩 ，于是秩 ，可见 中至少存在 个线性无关的列向量 .今作向量组 ，故可以证明此向量组线性无关.若不然，则必有