- 上一篇：常数变易法的研究
- 下一篇：函数极限计算的方法与技巧
一 预备知识
1.1 最小多项式的定义
定义1 设 是一个 矩阵，如果有多项式 ,使 ，则称 为 的零化多项式.
引理1 方阵的零化多项式一定是存在的.
证明 设 为方阵， 表示为数域 上的所有 方阵的集合.则 构成线性空间，它的维数为 .显然 .由于 这 个向量一定会线性相关，所以会有一组不全是零的实数 使得
故可作出多项式 ,使得 .故对 中的任意方阵 来说，一定会有零化多项式.
定义2 若 满足三个条件：首项系数是1 次数最低
则 称为最小多项式.
根据引理1我们可以了解到矩阵一定会存在最小多项式的.仅只要根据向量组 随着 的越来越大往上找零化多项式中次数最低的即可.但是这仅仅只能表达出 的最小多项式的次数最多不超过 .这个估计不太精确，我们需要更精确的估计.
定理1（哈密顿-凯莱定理）设 是数域 上一个 阶矩阵， 是 的特征多项式，就有
此定理证明过程详见文献【8】，此定理说明能把 阶方阵的最小多项式的次数缩小到不超过 .
1.2 最小多项式的性质
性质1 矩阵 的最小多项式是唯一的.