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摘要分数阶导数作为一个拥有悠久历史但是缺乏重视的领域，在解决许多非局部问题上拥有优势。分数阶导数的引入和 Gamma 函数函数息息相关，都完成了从整数的定义域到实数域的跨越。分数阶导数和 Gamma 函数都拥有良好的性质，并且进一步扩展了导数和分析理论所适用的范围，分数阶微积分在物理、自动控制、图像处理等领域的问题上，成为了有用的工具。分数阶导数的数值计算也随着计算机的发展而不断发展。可以相信分数阶控制领域的工作会越来越重要。 50092
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毕业论文关键词 Gamma 函数 分数阶导数 图像处理 自动控制
Title The introduction of the Gamma function and fractional derivative
Abstract Fractional Derivative is a historical domain but lack of attention. It has an advantage in solving many non-local issues. Gamma function and the fractional derivative is closely related over the completion of extending the integers domain to the real realm. The fractional derivative expands the range derivative and analysis theory applies because of its nice nature. Fractional calculus on the issue of physical, automatic control, image processing and other fields, has become a useful tool. The numerical computations of fractional derivative boots rapidly with the development of computer. I believe the work about the fractional calculus will be more and more important.
Keywords Gamma function Fractional derivative Image processing Automation
目次
1引言1
1.1Gamma函数的引入和发展1
1.2分数阶导数的引入和发展1
2Gamma函数的定义性质2
2.1Gamma函数的定义2
2.2Gamma函数的性质3
2.3Gamma函数的推导5
2.4Mittag-leffle函数7
2.5Gamma函数的应用8
3分数阶导数的定义和性质9
3.1分数阶导数的定义9
3.2分数阶导数的性质10
3.3分数阶导数的线性性质12
3.4分数阶导数的莱布尼茨规则13
3.5分数阶导数的比较14
4分数阶导数的应用15
4.1分数阶导数在摩擦力分析的应用15
4.2分数阶导数在自动控制的应用18
4.3分数阶导数在图像处理的应用20
5分数阶导数的数值计算21
结论22
致谢23
参考文献24
1 引言 1.1 Gamma 函数的引入和发展 Gamma 函数的正式定义出现1792 年瑞士数学家欧拉在与哥德巴赫的通信中，ᨀ出了 Gamma 函数的定义，Gamma 函数的定义是一个对阶乘函数从实数到复数的扩展，Gamma 函数是一个带有参变量的定积分。贝努利是第一个扩展解决 Gamma 函数定义域的人。但是 Gamma 函数的定义并不是很完美，在 0, -1, -2的地方， Gamma 函数的取值的是奇异的。于是， Gamma 函数的发展，严格来说，对阶乘函数的扩展问题的解也在不断出现。值得一ᨀ的一个例子是1894 年Jacques Hadamard 给出了一个比较光滑的函数，并且在 R 上没有奇异点。直到 2006 年，Peter Luschny 给出了一个新的阶乘函数，在实数域上，有着更好地单调的特征。但是在 Hadamard 定义了他的 Gamma 函数后很多年，一个从几何角度考虑的观点才逐渐出现，定理通过分析对数性凸函数的特性给出了这个几何观点的解释[5]。
1.2 分数阶导数的引入和发展 分数阶微积分理论是一个历史悠久的问题，莱布尼茨早在研究整数阶微积分问题时候，就ᨀ出了对分数阶微积分的探讨。然而这一问题始终没有得到学术界和工程界较为正式的关注。1659年，洛必达和莱布尼茨的邮件中第一次ᨀ出了对分数阶微积分的讨论[1]。这使得分数阶微积分的历史和标准微积分的历史几乎一样长。欧拉在 1738 年发现了在对一个函数的级数展开式，可以使用改变其每一项的的参数 n 的值为 α 从而使得微分算符 12132 拥有分数阶的意义源Z自-751+文/论^文]网[www.751com.cn。