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进一步的工作由傅里叶展开，基于他的傅里叶级数，他给出了一个新的分数阶导数的定义，从而可以定义任何一个性质足够好的函数的分数阶导数。上面的历史仅仅介绍了分数阶导数的历史，而分数阶微积分更为正式的工作由 Abel 和 Liouville 的论文所展开，该论文主要᧿述了等时曲线的计算问题[3]。 在1832-1837年，一系列著名的论文使得 Liouville 成为了分数阶微积分理论的创始人。虽然Liouville 并没有完全解释清楚分数阶微积分理论的各个问题，但是在他的论文里，对分数阶微积分的展望和根本观点被阐述的十分清楚。他对分数阶导数定义最基本的形式采用了指数函数，这被证明是足够好的。 Liouville 将他所创立的分数阶微积分理论引入到了更一般的应用当中。Riemann 紧接着他的工作开始了研究，并且给出了 Liouville 的积分形式。该积分公式成为了研究分数阶导数领域一个主要的形式。注意到这个时候，Liouville 和 Riemann 都在解决所谓的完备性函数。
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Letnikov 采用了一条新的途径，也就是利用极限和差分去解决分数阶微分问题。他的定义在部分方面和 Riemann，Liouville 的定义不谋而合， 并且进一步在代数上证明的他的定义是和里的。在他所发表的一篇很长的论文中，他将分数阶导数完整的理论建立起来。 进入 19世纪以来，分数阶微积分的理论不断发展。许多新形式的表述被不断引入。而实际应用也随着物理学，化学和工程的发展而发展。例如在信号处理领域，Marks 和 Hall 的论文， Olmestead 和 Handelsman 在扩散过程领域。分数阶微积分领域由于其在全局的性质，使得在物理领域，越来越受到关注[6]。 这篇文章的结构如下，在第二章和第三章，将介绍 Riemann-Liouville 分数阶导数的定义和性质。第四章介绍他们在经典物理，自动控制，图像处理的应用。在第五章将介绍分数阶导数的数值计算和计算机编码实现。最后将进行总结。