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摘要多元函数极值是多元函数微分学的重要组成部分，在金融学，统计学，经济学等方面有着广泛的应用。因此如何判定及求解多元函数的极值问题就显得尤为重要。本文的主要内容是分析和总结多元函数极值问题的解法，最常见的求解函数极值问题的方法有代入法、拉格朗日乘数法、方向导数法、柯西不等式法、标准量代换法、不等式法以及数形结合法等。同时还给出了多元函数极值在生活、学术领域中的很多应用，尤其在求解一些关于最优化问题时最为需要，主要是函数极值在经济学上的应用。将鞍点定理运用在了拉格朗日乘数法上，能够让我们快速的判别驻点是否为极值点；以及最后运用数学软件Matlab 求解函数极值。 50101
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毕业论文关键字 多元函数极值 拉格朗日乘数法 柯西不等式法 方向导数法 鞍点定理 Matlab
Title Multivariable function extreme value and its application
Abstract Multivariable function extreme value is an important part of multivariable function differential calculus, and it has been widely used in finance, statistics, economics. Therefore, it is particularly important to determine and solve the extreme problems of multivariable functions. The main content of this article is to analyze and summarize the methods to find the extreme problems of multivariable functions. Generally, the common methods to find the function extremes are the Lagrange multiplier method, directional derivative method, Cauchy's inequality method and standard substitution method etc. The problem of multivariable functions has many applications in many fields, especially in solving optimization problems. In this paper we mainly study the application of the extreme value problem in economics. By applying the saddle point theorem to the Lagrange multiplier method, we can determine whether a stationary point is an extreme value point; Finally, we show the geometric graph with mathematical software Matlab.
Keywords Multivariable function extreme value；Lagrange multiplier method ；Method of cauchy inequality ；Directional derivative method ；Saddle point theorem；Matlab.
目次
1绪论1
2多元函数极值与条件极值的性质3
3多元函数条件极值的解法5
3.1直接代入消元法5
3.2拉格朗日乘数法6
3.3梯度法11
3.4标准量代换法12
3.5不等式法13
3.6数形结合法14
4多元函数极值的应用17
4.1多元函数极值在概率上的应用17
4.2多元函数极值在经济上的应用18
4.3极值在粘性解中的应用21
5运用Matlab求函数极值23
总结26
致谢27
参考文献28
1 绪论 多元函数作为函数微分学的一大重要组成部分，其重要性不仅体现在理论上，而且在科学以及现实生活问题上都能被广泛的应用，因此求解多元函数极值的问题成为了许多学者研究的内容。当今多元函数极值问题的研究方向分两个方面[1]。一方面主要是对理论上的创新与完善，如：鞍点概念在多元函数的条件极值问题的应用、利用函数凸性来解决优化分析问题的思想方法等[2]；另一方面是在现实方面上的应用，如：解决生产中的成本最低化、产量最大化问题，金融方面的风险度量问题。国内外关于极值问题有很多的研究： 关于多元函数条件极值问题，在现行高等代数和数学分析中我们主要运用的解题方法是拉格朗日乘数法[3]。而求多元函数极值问题的难点在于当求得驻点后，我们还要以怎样的方法判断函数是否在该点能取到极值，如果驻点不唯一时，解题难度将大大增加[4]。在现行的一些方法中大多数学者是通过海塞矩阵来判断驻点是否为极值点[5]。拉格朗日乘数法和代入法作为求解多元函数极值问题的两大常用方法,它们都有其局限性， 即必须受条件函数梯度非零的限制[6]。根据目标函数和条件函数的一阶、二阶偏导数可以判定拉格朗日乘数法所得出的驻点是否是极值[7]，是取极大值还是极小值,以此能得到判定条件极值的一个充分条件[8]。在现行的数学分析中有多种关于函数极值充要条件的证明，例如运用方向导数给出了条件极值的一阶充分条件[9],简化并丰富了条件极值的充分条件,从而更加节省了求解函数极值的时间[10]。在求多元函数条件极值时如果将鞍点的概念运用在 Lagrange 乘数法上,则能给出关于多元函数的条件极值问题一个充要条件[11]。 当然还有其他一些方法来解决最优化问题,如利用与函数凸性相关的不等式[12]。