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摘要 空间曲线（C）在P点的曲率为 ,其中s 为P点及其邻近点1 P 间的弧长, 为曲线在点P和1 P的切向量的夹角.本文根据空间曲线曲率的定义,给出在一般参数下,空间曲线的曲率公式,并利用伏雷内公式与空间基本三棱形中的基本向量,做内积与外积的方法,给出空间曲线曲率公式证明,体现了空间曲线曲率定义的严谨性以及数学定理证明的严密性.本文还在空间曲线曲率基础上对平面曲线曲率加以证明.由空间曲线曲率证明平面曲线曲率,则体现了数学内容的连贯性与严密性. 50843
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毕业论文关键词：空间曲线 曲率 一般参数
The Curvature of Curve and its Proof Abstract Let C be space curve , is called the curvature of space curve and the formal of the curvature is obtained using fundamental three-vector form, where s is arc length between P and its neighbor 1 P , is angle of tangent vectors between P and its neighbor 1 P. The method of theorem proving reflects the seriousness of definition of the curvature of space curve and the strictness of the theorem proving in mathematics. In this case, scalar product, exterior product is applied. In the last part of paper, the formula of plane curve curvature is given. The curvature of plane curve is proved by the curvature of space curve, which reflects the consistency and preciseness of mathematical content.
Key Words: the curvature curve normal parameters 0lim | |sks
目 录
摘要Ⅰ
Abstract-Ⅱ
目录Ⅲ
1 绪论1
2 空间曲线曲率及其证明-2
2.1 现有曲率的结论2
2.2 空间曲线曲率的一般参数3
2.3 证明方法-4
2.4 例题-7
3平面曲线曲率9
4 结论-10
参考文献11
致谢-12
1 绪论 微分几何是数学的一个重要的分支,在物理学,天文学等众多领域内具有广泛的应用.微分几何的局部理论研究：三维欧氏空间中的曲线和曲面在一点附近的性质,其主要内容为寻求并确定哪些几何不变量能在一定程度刻划曲线和曲面.这就是曲线论和曲面论基本定理的主要内容. 欧拉作为微分几何的奠基人之一,他所引进的平面曲线的内蕴坐标概念,即以曲线弧长作为曲线上点的坐标,开创了曲线的内蕴几何的研究.曲线论主要研究刻画一条空间曲线最少需要几个概念,就可以把曲线在一点处的形状描绘出来；或者说曲线在一点的几何性质最少需要有用几个概念来刻画.对许许多多的曲线,我们只需要用两个概念就可以完全的描述出曲线在一点处的几何性质. 其中一个概念就是曲率.曲率这个概念很简单,通俗的说就是曲线的弯曲程度.说个曲线的特例直线,直线没有弯曲,所以直线的曲率自然就是零.从直线这个例子,我们不难看出曲率这个概念来源生活. 基于生活中,我们不难产生几种认识：直线是无弯曲的曲线,所以它的曲率应恒等于零;圆是一条均匀的曲线,所以它的曲率应处处相等;在一条曲线上,弯曲越厉害,曲率越大;曲率应该有方向.基于人们的生活认识,数学家对曲线给出定义：
曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率.微分学上表明曲线偏离直线的程度.数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.简单的说,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大. 关于曲率的计算问题,通常有两种方法.要根据实际情况选择恰当的方法.当给出的方程是非自然参数（即不以弧长为自变量）方程时,通常用曲率＝弧长的一阶导数叉乘弧长的二阶导数的绝对值除于弧长一阶导数的绝对值的立方.而当给出的方程是自然参数的曲线方程时,曲率等于弧长的二阶导数或切向量的一阶导数. 2 空间曲线曲率及其证明 2.1现有曲率的结论 定理1[1] 设空间曲线: ( ) r r s 上点 Ps的邻近点1 P s s （ ）到曲线在点P的切线L的距离, d P L （ ）,则曲线在点P的曲率 1212 ( , )lim||PPd P LksPP . 定理2[1] 设空间曲线: ( ) r r s 上点 Ps的邻近两点为1() P s s 和2 () P s s ,( 0) s ,12 PP P S表示12 PPP 的面积,则曲线在点P的曲率 122 02( ) lim .PP PsSkss 定理3[2] 设光滑曲线C: ( ) ( ), ( ), ( ) r r t x t y t z t ,点0 () P t t 为曲线C上一点,将曲线看作质点P的运动轨迹,通过求导可得质点P的速度向量与加速度向量分别为 0 0 0 ( ), ( ), ( ) v x t y t z t , 0 0 0 , ( ), ( ) a x t y t z t (),借助曲率与曲率半径的关系1kr,由2||||var,有曲率 2 2 23| | | | ( )||a v a vkv. 定理 1,定理2,定理3分别从几何与物理方面给出曲线曲率.并在相应的文中对曲线曲率公式进行了证明. 在文[3]中平面曲线相对曲率直接利用平面曲线的基本公式进行了证明,本文将文[3]中的证明方法,推广到空间曲率证明.利用空间曲线基本公式,给出空间曲线曲率计算公式的几种方法. 2.2空间曲线曲率的一般参数表示 定义[4]：空间曲线（C）在P点的曲率为 0lim | |,sks 其中s 为P点及其邻近点1 P间的弧长, 为曲线在点P和1 P的切向量的夹角. 给定光滑曲线C: ( ) ( ), ( ), ( ) r r t x t y t z t ,设点 ( , , ) ( ), ( ), ( ) P a b c x t y t z t 与点 1 ( , , ) ( ), ( ), ( ) P a x b y c z x t t y t t z t t 分别为曲线C上的点,则 点P 与点1 P 处的切向量分别为1 ( ( ), ( ), ( )), n x t y t z t 2 ( ( ), ( ), ( )), n x t t y t t z t t 则曲线在点P和1 P的切向量的夹角 221 2 1 2121 2 1 2 1 2(| | | |) ( ),2, | | | | (| | | | )n n n nnnn n n n n n P点及其邻近点1 P间的弧长 1 2 2 22 2 2| [ ( )] [ ( )] [ ( )] |= [ ( )] [ ( )] [ ( )] | | .P t tPts ds x t y t z t dtx t y t z t t 可得定理 定理 1：设光滑空间曲线C： ( ) ( ), ( ), ( ) r r t x t y t z t ,点0 0 0 { ( ), ( ), ( )} P x t y t z t 为曲线C上一点,点1 0 0 0 { ( ), ( ), ( )} P x t t y t t z t t 为点P的邻近点,s 为P点及其邻近点1 P 间的弧长, 为曲线在点P和1 P的切向量的夹角,则曲线在P 点的曲率为