高等代数中等价思想在中学数学教学中的应用

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摘要-Ⅰ

Abstract--Ⅱ

目录-Ⅲ

1绪论--1

2关于转化成行列式的问题--1

2.1因式分解问题1

2.2解方程组问题4

3关于转化为矩阵的问题--6

3.1平面几何变换问题--6

3.2求递推数列8

4结论--9

参考文献10

致谢-11
1 绪论等价是高等代数中的一种很重要的数学思想,这种数学思想对解决很多问题是非常有益的.在中学数学中有很多问题,比如说：因式分解问题、不等式求解、函数问题、几何变换问题…等都可以利用等价的思想转化成其它问题来研究,比如将一些因式分解问题转化为行列式问题、数列问题转化为矩阵问题,这种利用等价的思想来解决中学数学中的问题对中学数学实践是非常有意义的.本文就这一观点来对中学数学教学中的一些问题来做一点探讨.2 关于转化成行列式的问题高二选修4-4 的“矩阵与变换”章节介绍了二阶矩阵和三阶矩阵的乘法与性质,对于二阶行列式11 1211 22 12 2121 22a aa a a aa a  , (2-1)它的一个形式特点就是两两乘积的差可以转化成一个二阶行列式,从而可以利用二阶行列式来探讨某些具有这种特点的问题.在中学数学中有很多具有这种特点的问题,那么这些问题是不是可以转化成二阶行列式来研究.2.1 因式分解问题案例1 实数 , , x y z 满足 2( ) 4( )( ) 0 z x x y y z      ,证明 , , x y z 成等差数列.证等式 2( ) 4( )( ) 0 z x x y y z      左边是两两乘积的差,考虑转化成二阶行列式: ( 2 ) z x y    , (2-2)得 2( 2 ) 0 z x y    , (2-3)所以 2 0 z x y    或 y x z 2   ,即 , , x y z 成等差数列.分析：在课堂教学中,出现证明等式的形式,通常采取由繁到简或等价变换的方法对原等式加以处理.在上述等式中,若采用基本方法：展开、分组合并、化简的方法,有时可能不能.根据中学数学中已出现有关行列式的内容,可以考虑能否用行列式来处理问题,为此,需要考虑中学数学对行列式内容的教学要求,这里介绍中学教学范围之内的行列式的基本性质,这些性质有：(1)把一行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变.(2)如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.(3)以一数乘行列式的一行就等于这个数乘以此行列式.注意到等式左边是两代数式乘积之差,由二阶行列式的定义,可以考虑化成二阶行列式.再利用中学数学中介绍的行列式基本性质的来求解,就可得到结论.这里把等式转化成行列式,根据性质,把第二列加到第一列,行列式第一列出现公因式,提取公因式后再由完全平方的知识得到 0 2    y x z .这种证明方法显然比展开后再化简合并更直观简洁.因式分解问题是高中求解函数方程的一个重要问题,经常使用的方法有提公因式、分组分解法、十字相乘、配方法、利用特殊值等.实际上,利用二阶行列式的定义,也能处理一些不能使用特殊方法的因式分解问题.案例2 分解因式 20 24 6 2 3 4    x x x x . (2-4)解要将多项式 20 24 6 2 3 4    x x x x 化成二阶行列式的形式,需要把该多项式写成两代数式乘积的形式,分成两组后分别提取 4 ,2x ,得) 5 6 ( 4 ) 1 6 ( 20 24 6 2 2 2 3 4         x x x x x x x x . (2-5)将上述代数式化为行列式,有