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， ，化简得 ， .
依据定理1.1，若 ，
当 与 符号相异时，函数 在点 处取得极小值；当 与 符号相同时，函数 在点 处取得极大值.
定理1.3 设函数 为 所唯一确定隐函数， 存在驻点 ，且 ， 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，在点 处，当 时，则有
（1）若 ，函数 在点 处取得极小值；
（2）若 ，函数 在点 处取得极大值.
证 已知函数 在点 处的 矩阵为 .
由判断矩阵正定性的充要条件知，当矩阵 的特征值全大于0时，矩阵 是正定的；当矩阵 的特征值全小于0时，矩阵 是负定的.
已知矩阵 的特征多项式为源`自*751~文·论^文`网[www.751com.cn
若要求矩阵 为正定的，则有 ， .
当 时，在点 处，若 ，则 ；，在点 处，若 ，或若 ， ，则 .
可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.
当 时，在点 处，若 , ,或若 ，则 ；在点 处，若 ，则 .
可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.
综上，当满足 时，在点 处，若 成立时，函数 在点 处取得极小值.
若要求矩阵 为负定的，则有 ， .
当 时，在点 处，若 ， ，或若 ，则 ；在点 处，若 ，则 .
可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.
当 时，在点 处，若 ，则 ；在点 处，若 ，或若 ， ，则 成立.
可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.
综上可知，当满足 时，在点 处，若 ，函数 在点 处取得极大值.
定理1.4 设函数 为 所唯一确定隐函数， 存在驻点 ，且 ， 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，在点 处，当 时，则有
（1）若 ，函数 在点 处取得极小值；
（2）若 ，函数 在点 处取得极大值.
证 已知函数 在点 处的 矩阵为