箭头所指的方向就是向量的方向。
坐标表示:在这里,我们仅以平面直角坐标系,多为坐标系以此类推。
在平面直角坐标系当中,a ⃑为任意向量,我们用“x”表示a ⃑在x轴上的投影长度,用“y”表示a ⃑在y轴上的投影长度。分别取x轴、y轴正方向的两个单位向量i ⃑,j ⃑作为一组基底。则a ⃑=x*i ⃑ +y*j ⃑,并用坐标(x,y)唯一的表示。记作a ⃑=(x,y)。这就是向量的坐标表示。
若有点P的坐标是(x,y),则向量OP称为点P的位置向量。
向量的分类:
1、零向量:顾名思义,即长度为0的向量,记作0,向量的起点和终点是重合的,所以零向量并没有确定的方向,或者说零向量的方向是任意的。
2、负向量:如果两个向量的模相等且方向相反,那么,我们把一个向量称为另一个向量的负向量,或者说,这两个向量互为负向量。
3、单位向量:即长度为一个单位(即模为1)的向量。方向与a ⃑相同,且长度为1的向量,我们称之为a ⃑方向上的单位向量。
4、相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫做相等向量。
5、法向量:这一概念常出现在几何问题中。如果直线l⊥α,取直线的方向向量a ⃑,则向量a ⃑叫做平面α的法向量。
向量的基本运算:
1、向量的加法:向量的加法满足评选那个四边形法则和三角形法则。
(OA) ⃑+(OB) ⃑=(OC) ⃑
向量的加法满足交换律和结合律。
2、向量的减法:一个向量减去另一个向量,可以视作是一个向量加上另一个向量的负向量,具体运算法则参见向量的加法。
3、向量的数乘:向量的数乘指的是一个向量a ⃑和一个实数λ相乘,源`自,751.文;论"文'网[www.751com.cn记作λa ⃑,且|λa ⃑ |=|λ|·|a ⃑ |。若λ>0,则λa ⃑与a ⃑同向;若λ<0,则λa ⃑与a ⃑反向;若λ=0,则λa ⃑=0,方向任意。向量的数乘满足结合律、第一分配律和第二分配律,且满足向量数乘的消去率。
结合律:(λa ⃑)·b ⃑=λ(a ⃑·b ⃑)=(a ⃑·λb ⃑);
第一分配律:(λ+μ) a ⃑=λa ⃑+μa ⃑;
第二分配律:λ(a ⃑+b ⃑)=λa ⃑+λb ⃑。
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa ⃑=λb ⃑,那么a ⃑=b ⃑。
② 如果a≠0且λa ⃑=μa ⃑,那么λ=μ。
4、向量的数量积:数量积a ⃑·b ⃑=∣a ⃑∣·∣b ⃑∣·cos〈a ⃑,b ⃑〉,〈a ⃑,b ⃑〉为向量a ⃑与b ⃑的夹角。若a ⃑、b ⃑共线,则a ⃑·b ⃑=±∣a ⃑∣·∣b ⃑∣。
数量积的运算规律:
交换律:a ⃑·b ⃑=b ⃑·a ⃑
结合律:(λa ⃑)·b ⃑=λ(a ⃑·b ⃑)
分配律:(a ⃑+b ⃑)·c ⃑=a ⃑·c ⃑+b ⃑·c ⃑
在这里需要注意的是,不要讲向量的数乘和向量的数量积弄混,更不能图省事将这两者共同称为向量的乘法,这是两个完全不同的概念,我们需要从本质上将它们区分开来。