例1 求解方程 .
解 由于 ,故该方程不是全微分方程.再观察方程的左边,容易得出
在方程两边同乘以 ,得 就是全微分方程了,故 是该方程的积分因子.
利用观察法求积分因子,首先要观察方程是否能乘以某个常见的式子可以变为全微分方程,如果可以,这个式子就是该方程的积分因子.
例2 求解方程 .
解 首先,使分母有理化,方程变为 ,
再把方程变为观察得出方程左边的前一部分为 的全微分,故可乘微分函数 后仍然是二元函数的全微分方程.又因为方程左边的后一部分形式为 ,因而取 ,于是方程变为
那么方程的通解是
如果不能迅速观察出常微分方程的积分因子,我们可以对方程进行重新调整,若其中一部分是二元函数 的全微分方程,则方程可能有形如 的积分因子.( 为可微函数)
例3 求解方程 .
解 重新组合改写为
方程左边的第一部分是 的全微分.因此,设该方程的积分因子通式是 ,我们希望它也是后一部分的积分因子,则应满足充要条件
又知 所以则求得以 乘原方程,得得通解为 .
利用观察法得出常微分方程的积分因子,一般地,常见的常微分方程的积分因子有 , , .
3.2 公式法
定理3[3] 方程 具有形如 的积分因子的充分必要条件是