特殊化原则,即把一般的问题转化为特殊的问题.解决特殊的问题,从而推广到一般的问题.
根据化归思想所遵循的几项原则,我们在利用化归思想解决问题可使用如下几种策略:化实际问题为数学问题、化未知问题为已知问题、化繁杂问题为简单问题、化抽象问题为直观问题、化一般问题为特殊问题.
1.3 用化归方法解决问题的注意点
应用化归方法解决数学问题时,应注意如下几点.
要注意化归的有效性和规范性.化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法和途径三个要素.因此,化归思想的实施应有明确的对象,设计好目标,选择好方法.而设计目标是问题的关键.因此,在解题过程中,始终必须紧紧盯住化归的目标,即始终应该考虑这样的问题:这样才能达到解原问题的目的.在这个大前提下,实施的化归才是卓有成效的,盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.
要注意问题转化的等价性.化归包括等价化归和非等价化归,在中学数学中的化归多为等价化归,等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果.
要注意问题转化的多样性.利用化归思想解题时,转化的途径和方法不一定相同,但有一个共同的规律,就是在待解决的问题和已知问题之间架起一个联系的桥梁,这就是知识之间的“关系键”,这就要求我们在学习数学的过程中,要不断的构键知识结构,形成知识网络,要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法,这些都是提高数学解题能力的条件和基础.源^自·751·文.论,文'网]www.751com.cn
2 预备知识
在高等代数中也经常用到化归思想,如利用同构方法将一个线性空间化归为一个具体的线性空间、在线性空间中取定一组基以后,可以将抽象的向量化归为具体的 维向量问、将线性变换归结为矩阵等.本文主要探讨将矩阵有关的问题化归为准对角矩阵的问题.
在本文中,如不作说明, 是数域 上的矩阵, 为 的转置矩阵, 为 的迹(即矩阵 的对角元素之和), 为对角元素为 的对角矩阵.
命题1 若矩阵 的秩为 ,则 与对角矩阵 等价,即有有 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ,使 .
命题2 设 是一个 阶矩阵,若 有 个线性无关的特征向量 ,则 与对角矩阵 相似,即有可逆矩阵 ,使 ,其中 为矩阵 的分别对应于特征向量 的特征值.
命题3 设 是一个 阶实对称矩阵,则 合同于对角矩阵 即有 阶实可逆矩阵 ,使 .
命题4 设 是一个 阶实对称矩阵,则 相似合同于对角矩阵 ,即有 阶正交矩阵 使 ,其中 为矩阵 的全部特征值
命题5 设 是一个 阶复矩阵,则有 阶可逆矩阵 ,使 ,其中
称为 的Jordan标准形.
3 将问题化归为对角元素的问题
对角矩阵是一类最简单的矩阵,与对角矩阵有关的矩阵运算问题可归结为对
角元素的运算.具体而言,设 , 是对角矩阵, , 为多项式,则
对角矩阵的另一重要性质是:与一个对角元素互不相同的对角矩阵可交换的矩阵一定是对角矩阵.
利用对角矩阵的这些运算性质,可以将某些矩阵问题化归为相应对角矩阵的对角元素的问题,从而使问题得到简化.下面以几个例题说明这一方法在具体问题中的应用.