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解 因为 ，源-自/751+文,论`文'网]www.751com.cn
所以 ．
即该级数为正项级数
又因为 收敛，再由正项级数比较判别法可知原级数收敛．
说明当所要判断级数是由不同类型的函数式复合而成时，可以利用泰勒公式并结合放缩技巧将级数通项简化，便于进一步判断敛散性.此外泰勒公式还可以用于判断广义积分的敛散性.
3.4 恒等式以及不等式的证明
例4 设 在 上有连续的二阶导数，且 ，试证
，
分析 因为不等式右边具有 ，可以考虑将函数 = 展开为二阶泰勒公式，为便于使用 ，可在点 处泰勒展开，接着再使 ， ，此时式子可以得到简化.
证明 ，设 ，
则有 ， ， ， ，
把 在 处展开二阶泰勒公式
其中 在 与 之间， 在 与 之间，接着再分别令 ， ，然后相加可得
又因为 在 上连续，再由介值定理可知 ，使得
说明当已知被积函数是二阶及二阶以上可导时，可以使用泰勒公式.其展开式要依据题目中的要求选取适当的展开点，因为泰勒公式为局部函数.展开后，再对泰勒余项做适当的处理即可，一般是运用中值定理.该方法同样适用于不等式的证明.
例5 设 在 上二次可导，且 ， ，试求 ，使得 ．
证明 因为 的最小值不是在区间端点取得，
所以 ，使得 ，且 ，即 在 处的泰勒展开式为