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摘要Taylor公式是数学分析中的重要部分，在数学解题中有着极为重要的作用，而且它的应用也非常的广泛。本文对Taylor公式进行了研究。主要内容为：介绍Taylor公式的三种形式，分别为Largrange型、Peano型及Maclaurin型以及Taylor公式在数学解题中的具体应用。本文通过一些实际的例题，归纳了Taylor公式在求极限中的应用，利用Taylor公式在近似计算中进行应用，如何利用Taylor公式对级数的敛散性进行判断以及在行列式求值、等式的证明中的具体应用。61361
毕业论文关键词：Taylor公式；余项；应用；
1、引言 5
2、Taylor公式的三种形式 5
2.1 带有Lagrange型余项的Taylor公式 5
2.2 带有Peano型余项的Taylor公式 5
2.3 Maclaurin公式 6
3、Taylor公式的应用 7
3.1 Taylor公式在求极限中的应用 7
3.2 Taylor公式在近似计算中的应用 8
3.3 Taylor公式在定积分中的应用 9
3.4 3.4 Taylor公式在判断级数的敛散性中的应用 10
3.5 Taylor公式在等式证明中的应用 11
3.6 Taylor公式在求行列式的值的应用 12
4、结论 13
参考文献 14
致谢 15
1、引言
Taylor公式是大学数学中一个极为重要的知识，对数学发展的作用是不可估量的。泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分，1715年泰勒出版的《增量法及其逆》中有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得到的，一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而确认了泰勒级数的重要地位。以泰勒展开而闻名于后世的Taylor公式在数学发展史上有着重要的作用[1]。
在经历了几千年的发展以后，Taylor公式仍然充满着活力。Taylor公式有三种形式，Lagrange型、Peano型、Maclaurin型，每一种形式的Taylor公式都有着其相应的应用，在数学各个分支如常微分方程、数值分析、最优化理论中都有着重要的作用。除此之外，Taylor公式还广泛的应用于计算机、物理等领域[2]。
2、Taylor公式的三种形式文献综述
2.1 带有Lagrange型余项的Taylor公式
对于正整数n，若函数 在闭区间 上n阶连续可导，且在含有 的开区间 内具有n+1阶倒数，则对于 有
其中 （2）
带有形如（2）式的余项称为Lagrange型余项.
2.2 带有Peano型余项的Taylor公式
对于正整数n，若函数 在闭区间 上具有n阶倒数，则对于 ，都有
形为的余项称为Peano型余项.
2.3 Maclaurin公式
在（1）式中，令 ，则可得到 在 的Taylor公式
称其为Maclaurin公式[3].
此外，常见的Maclaurin公式还有如下：
3、Taylor公式的应用
3.1 Taylor公式在求极限中的应用
极限是高等数学中的一个重要部分，求极限的方法多种多样，其中借助Taylor公式求解极限是Taylor公式在数学中最基础的应用。