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摘要素数 的因子只有1和其自身，并且 或 ，这些特殊的性质，推导出了近世代数中有许多重要结论.本文主要整理有限群中有关素数的相关结论，让大家感受素数在近世代数中的魅力，为大家的学习提供帮助.
关键词：素数 有限群 近世代数
The Discussion on the Conclusions Relation with the Prime Number in Finite Groups
Abstract
The prime factor is only 1 and of its own, and if or . These special properties derive the modern algebra with many important conclusions. This paper mainly collects the relevant conclusions of the finite group related primes,making us feel the charm of primes in modern algebra,hoping to help everyone to study .
Key Words prime number finite group modern algebra
目 录
摘要----Ⅰ
Abstract-----Ⅱ
目录----Ⅲ
1 绪论---1
2 一些与素数相关的常见结论---2
3 与循环群相关的结论3
4 群相关结论---4
5 可解群相关结论6
参考文献----7
致谢8
1 绪论 在有限群中，群的阶和元素的阶是一个非常重要的概念. 著名的拉格朗日定理揭示了元素的阶与群阶因子的关系. 而于素数的因子只有其自身和1，故在阶为素数 的条件下，会产生许多特殊的结论，如文献[1-3].而当视野聚焦于元素的阶，便诞生了 群. 群有许多特殊的性质，引起了国内外广大学者的广泛讨论，如文献[4-6].（注：如不加额外说明，本文中提到 的均为素数.）
2 一些与素数相关的常见结论
命题1 若 为群，则 的阶为素数的充要条件是 除平凡子群以外无其他真子群
证：必要性 设 的阶为素数 ，根据拉格朗日定理知, 的非平凡子群的阶只能为 , 故 的非平凡子群只能为其自身. 即 是除平凡子群以外无其他真子群的群.
充分性 设 为 中的非单位元，则 是 的非平凡子群，故 .若 为合数，不妨设 为大于1的整数, 则 ，这与条件矛盾.故 为素数.
推论1 阶为素数的群 为循环群. 因为若设 是 中的非单位元，易知 ， 是 的非平凡子群，由结论1， 是除平凡子群以外无其它真子群的群，故 为循环群.
引理1 若 为有限交换群， 为素数且 ,则 中含有 阶元，从而有 阶循环子群.
证：设 ，运用数学归纳法.
当 时，由结论1的推论，显然成立
假设 时，结论仍成立，当 时，取 的极小子群 ，由结论1可知， 为素数.若 ，由推论1知，结论成立.若 ，则 .故由归纳假设知， 阶循环子群，不妨设为 ，设 ，则 为 的 阶子群.事实上，由推论1，不妨设 ，则 中元素均可表示为 ，其中 ，又因为 可交换，故易知 为群，且 .由拉格朗日定理知，若 无 阶子群，则 必无 阶子群.故 是除平凡子群以外无其他真子群的群， 的阶为素数矛盾.故 有 阶子群，且为循环群，有 阶元.故 中含有 阶元，有 阶循环子群.由数学归纳法知，结论成立.
命题2 若 为有限群， 为素数且 ,则 中含有 阶元，从而有 阶循环子群.源-自/751+文,论^文'网]www.751com.cn
证：设 ，运用数学归纳法.
当 时，由推论1，显然成立
假设 时，结论仍成立，当 时，若 有指数与 互素的真子群 ，由归纳假设知 有 阶元.若不然， 的每个真子群的阶都与 互素，故 的每个非中心元所在的共轭类长度可被 整除.故的 阶可被 整除，而 是交换群，由引理1知， 有 阶元.故 中含有 阶元，有 阶循环子群.由数学归纳法知，结论成立.
命题3 设 是群 的子群，若 .则 .