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摘要利用矩阵的初等变换来解决线性问题是线性代数中最基本思想，本文介绍了文献[1]的关于标准正交组的一个结论，并在此基础上得到了结论命题2以及命题2的一个推论，并将这些结论扩充到了一般的欧氏空间中.
该毕业论文参考文献5篇.关键词：欧氏空间； 标准正交基； 正定矩阵； 合同变换 52851
The Application of Matrix Elementary Transformation in Finding an Orthonormal Basis
Abstract It’s an essential way to solve problems in linear Algebra with Matrix Elementary Transformation . This paper presents a conclusion on Orthonormal basis from documents [1],and then achieve proposition 2 and a deduction from it , and promote these conclusions into normal Eculid spaces finally.
Key Words: Eculid spaces Orthonoemal Basis Positive-definite matrix Symmetrix transformation
目 录
摘要--Ⅰ
Abstract-Ⅱ
目录--Ⅲ
1 引言---1
2 预备知识-1
3 主要结果-1
3.1文献[1]中定理的改进与证明-1
3.2对命题1的思考和例1求法的改进--4
3.3将命题2推广到一般的欧式空间中--7
参考文献10
致谢--11
1 引言
在高等代数相关的考研题目中，把欧氏空间中的基化成标准正交基是一种常见的问题，占有十分特殊的地位.王萼芳的高等代数中解决这类问题的方法是对原来的基进行施密特正交化，施密特正交化的有效性体现于在任给的一个欧氏空间中都可以施行固定的手续求得标准正交基，而这一过程需要先对原来的基经过复杂的计算得到一组正交基，再将该组正交基进行单位化，从而化成标准正交基.然而这一过程计算量太多.本文有感于化二次型为标准形的简洁过程[2]，希望在不影响有效性的前提下构造二次型矩阵，经过初等变换来实现上述结果，从而避免冗长的计算.约定本文中出现的欧氏空间都是有限维.
2 预备知识源-自/751+文,论^文'网]www.751com.cn
本文的研究基于以下引理和定理.
引理1[1][3] 设 是一个 矩阵，且 ,则存在 阶可逆阵 ,使矩阵 ，且 的列向量组是标准正交向量组.
引理2[1] 设 是一个 矩阵，且 ，则矩阵 是正定矩阵.
引理3[4] 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.
定理1[4] 对于 维欧氏空间中任意一个基 ，都可以找到一个标准正交基 ，使
3 主要结果 3.1 文献[1]中定理的改进与证明
引理1针对线性无关的向量组作了具体的阐述和证明，具有普适性.本文则从基的角度给出另一种表达,这里将该定理以命题1的形式给出.
命题1 设 是欧氏空间 的一个基, ,若可逆阵 ，使得 ,则 的列向量组就是 的一个标准正交基.
证 由文献[4]和[5]可知, 是正定矩阵,且存在实可逆矩阵 ,使 . （3-1）
记 , ,则 ， （3-2）
因此 是 的一个标准正交基.
例1 把 化成欧氏空间 的一个标准正交基.
解 以 为列向量,构造矩阵 ，有
, .（3-3）
由命题1，对 进行成对的初等行列变换：
根据命题1，由 出发得到的标准正交基是
.（3-5）
这与进行施密特正交化后的结果是一致的.
3.2 对命题1的思考和例1求法的改进
由例1，初步体验了用初等变换法化标准正交基的便利，对 进行成对的初等行列变换的目的是为了得到 .其实这种方法看似比施密特正交化过程简洁,却还没有真正减轻计算量,毕竟，就结果而言， 只需要对方阵 作相应的初等列变换就能达到目的，因此有必要对命题1进行改进.