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设函数 ，因为
，则 在定义域内为单调递减.然而 ，则当 时， ，因而 ，所以
即从而证得 .
注1 辅助函数构造方法：将题目中需要证明的结论中的 换成 ；将题目变成易积分形式；求出原函数，计算过程中可以令常数为零；④将不等号化为等号后将等号两端移到同一端，则非零端为所求辅助函数.
2.2 应用柯西中值定理证明不等式
应用该定理证明不等式需要用到的知识有：
定理2 （柯西中值定理） 设函数 和 满足
（ⅰ）在 上都连续；
（ⅱ）在 内都可导；
（ⅲ） 和 不同时为零；
（ⅳ） ，
则存在 ，使得
此类证明步骤如下：构造辅助函数 、 和所需要的区间 ；取 ， ，根据上述定理有
， ，
由 、 在 上的单调性，把 、 作恰当变化来证明不等式.
例2 当 时，证明不等式
.
分析 令 ， ， 和 在定义域上满足柯西中值定理的条件，故可以运用该定理证明.
证明 令 ， ，从而原题可以转换为 .