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摘 要:本文讨论微分中值定理中的四大基本定理在等式证明、不等式证明、计算函数极限、根的存在性、函数单调性及近似计算等方面的应用.
毕业论文关键词:拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,泰勒公式,等式53512
Abstract: This paper discusses the differential mean value theorem in four basic theorems proved in equalities proving, inequalities proving, the limit of function calculation, the existence of the root, monotonic of function, approximate calculation and other aspects.
Keywords: Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem, Formula of Taylor, Equality
目 录
1 引言 4
2 微分中值定理的内容 4
3 微分中值定理的若干应用 5
3.1 在证明等式中的应用 5
3.2 证明不等式 9
3.3 应用拉格朗日中值定理、泰勒公式求极限 12
3.4 应用罗尔中值定理探究根的存在性 13
3.5 应用拉格朗日中值定理判定函数的单调性 14
3.6 用泰勒公式求近似值 15
结 论 16
参考文献 17
致 谢 18
1 引言
微分中值定理中的四大基本定理,即泰勒中值定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理,是微分学中的重要组成部分.这四大基本定理在一些解题上具有重要应用.本课题就以这四个基本定理为研究内容,从而利用它们来分析微分中值定理在求极限、求近似值、探究方程的根的存在性、证明等式、证明不等式这几个方面的若干应用.
2 微分中值定理的内容
本文以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒在中值定理的基础为研究对象,这三个本文以罗尔中值定理定理的具体内容如下
罗尔中值定理 若函数 满足如下条件
1) 在闭区间 上连续;
2) 在开区间 内可导;
3) ;
则在 内至少存在一点 使得
拉格朗日中值定理 若函数 满足如下条件
1) 在闭区间 上连续;
2) 在开区间 内可导;
则在 内至少存在一点 使得 .
很明显,尤其是当 时,本定理即可看作为罗尔中值定理.
柯西中值定理 设函数 和 满足如下条件
1)在 上都连续;
2)在 内都可导;
3) 和 不同时为零;
4) ;
则存在 ,使得 .
泰勒中值定理 如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数,则对任一 ,有
其中 .这里 是介于 和 之间的某个值.
3 微分中值定理的若干应用
在解决一些微分学的问题中,微分中值定理具有较为普遍的应用.下面我们将举例说明这些定理在等式证明、不等式证明、计算函数极限、探究方程的根的存在性、研究函数的单调性、近似计算这几个方面的若干应用.
3.1 在证明等式中的应用
在微分中值定理用来证明等式中,我们不仅可以通过构造辅助函数的方法来加以证明,也可以直接运用微分中值定理来证明.其中,罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理都可以用来证明等式.下面,我们给出这些定理在例题中的应用.源'自:751]'[论.文'网"]www.751com.cn