定义3 设 , 为 的代数余子式,则称 为 的伴随矩阵.
设 是 阶正交矩阵,则 .当 时,称 是第一类的.当 时,称 是第二类的.
定义4 设A是是欧氏空间 的一个线性变换,若 ,都有(A A ,则称A为 的一个正交变换.
定义5 设 是欧氏空间,由两两正交的单位向量作成的基叫做标准正交基.
定义6 设 是一个方阵, 是复数,若有非零的 维复列向量 使 ,则称 为 的一个特征值, 是 的属于特征值 的一个特征向量.
2.2正交矩阵的运算性质
由正交矩阵的定义及其等价条件可以证明正交矩阵有下列运算性质.
性质1 设 是 阶正交矩阵, 是整数,则 、 、 、 都是正交矩阵.
注:正交矩阵 的和、差一般不是正交矩阵.如取 ,则 都为正交矩阵,但 ,所以 不是正交矩阵.显然 也不是正交矩阵.
性质2 设 正交矩阵,则 是正交矩阵当且仅当 .
证明 设 是 阶正交矩阵, ,则 ,所以 是正交矩阵当且仅当 .
性质3 矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵.
证明 首先证明充分性.若 是正交矩阵,则 可逆,且 也是正交矩阵,而 ,又因为 ,所以 是正交矩阵.
其次证明必要性.若实矩阵 的伴随矩阵 是正交矩阵,则 可逆,于是 可逆.由于 ,故 ,又由于 ,故 ,由 得 ,所以 也是正交矩阵.
2.3正交矩阵的特征值
性质4 正交矩阵的特征值的模为1.
证明 设 是正交矩阵 的任一特征值,则存在 使 ,取共轭转置得 ,于是 ,由于 是正交矩阵,所以 ,而由 有 ,所以 ,即 的模为1.
特别的有
(1) 奇数维欧氏空间的第一类正交矩阵必以1作为其特征值.
(2) 偶数维欧氏空间的第二类正交矩阵必以-1作为其特征值.
事实上 设A是奇数维欧氏空间的第一类正交变换,其特征多项式为 ,
则 .由于 是 的奇数次实多项式,故其非实根必共轭出现,所以可以记其为 ,则 ,而实根 等于 或 .但 , .故 不可能全为 (因为 是奇数),所以必有一根是 ,同理偶数维欧氏空间的第一类正交变换比以 作为其特征值.
引理1 设 则存在非退化阵 ,使得源'自:751]'论-文'网"]www.751com.cn
= . 引理2 若 为实对称矩阵,则存在正交矩阵 ,使得
,其中 为矩阵 的特征值.若 是正定矩阵,则有 全大于零.
引理3 设 是 级复矩阵,存在可逆矩阵 ,使得
, 是 阶 块, ,
3 矩阵的 分解
3.1矩阵的 分解基本概念与结论
定义 如果实(复)非奇异矩阵 能够转化成正交(酉)矩阵 与实(复)非奇异上三角矩阵R的乘积, 即
,则称上式为 的 分解.
结论1 设 是一个 级矩阵, ,则 可唯一地分解为 ,其中
正交, 是一个主对角元为正的上三角矩阵.
证明 设 令 ,其中 为 的列向量,那么
线性无关.由施密特方法:令