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摘 要：如果{an}和{ bn }是两个序列，满足a1=b1和bn+a1bn-1+…+an-1b1=nan (n>1),则称(an,bn)是一个Newton-Euler序列对.本文主要给出了Newton-Euler序列对的三个例子及其应用.
毕业论文关键词：Newton-Euler序列对,母函数，序列，行列式54190
Abstract：If {an} and { bn } are two sequences satisfying a1=b1 and bn+a1bn-1+…+an-1b1=nan (n>1), then we say that (an,bn) is a Newton-Euler pair. In this paper, we give three examples of Newton-Euler pairs and their applications.
Key Words：Newton-Euler pair, generating function, sequence, determinant
目 录
1 引言…4
2 为Newton-Euler序列对… 5
3 为Newton-Euler序列对…7
4 为Newton-Euler序列对…10
5 为Newton-Euler序列对…13
结论 17
参考文献18
致谢 19
1 引言
如果{ } 和{bn} 是两个序列，满足 =b1和bn+ bn-1+…+ b1=n (n>1), 在[3]中孙智宏称( ,bn)是一个Newton-Euler序列对，并研究了Newton-Euler序列对的性质.在[1-2]中也有与Newton-Euler序列对相关的一些结果.特别孙智宏证明了如下结果：
定理1.1 ([3, Theorem 2.1]) 设{ }和{bn}是两个序列，A(x)= ，B(x)= , 则下列陈述等价：
(i) ( ,bn)是一个Newton-Euler序列对.
(ii) B(x)=xA’(x)/A(x).
(iii) A(x)=e .
定理1.2 ([3, Theorem 2.2]) 若( ,bn)是一个Newton-Euler序列对，则
= .
bn=n .
定理1.3 ([3, Theorem 2.3]) 设(an,bn)是一个Newton-Euler序列对， 则
= .
bn= .本文主要证明了 , , 和 为Newton-Euler序列对.
2 为Newton-Euler序列对
定理2.1 设 为实数，则 为Newton-Euler序列对.
证 令 = ， bn= ，对n施行数学归纳法.
当 n=1时， = ，b1= ，故 =b1 成立.假设当n=k时成立，即
bk+ bk-1+…+ b1=k (k>1).
当n=k+1时有
bk+1+ bk+ bk-1+…+ b2+ b1
=(-1) bk+ bk+ bk-1+…+ b2+ b1
=(-1) bk- bk-1- bk-2-…- b1+ b1
=- ( bk+ bk-1+…+ b1)+ b1
=-k + b1
=( -k) ,
(k+1) =(k+1)
= ,
而
= ，源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
故
(k+1) = ( -k) ,
bk+1+ bk+ bk-1+…+ b2+ b1=(k+1) .
于是当n=k+1时 等式成立, 从而 是一个Newton-Euler序列对.
(i) (ii) 令A(x)= 1+ ，B(x)= ，则
A(x)=1+ x+ + xn+…
=1+
= ，
B(x)= = ,
从而有
B(x)=xA’(x)/A(x).
(ii) (iii)由于 ,
e =e =e = ,
A(x)= ，
故有 A(x)=e .
于是由定理1.1知定理正确.
定理2.2 设n为正整数，则
= .
=n .
证 由定理2.1知 是Newton-Euler序列对，故由定理1.2知定理正确.
定理2.3 设n为正整数，