- 上一篇：Newton-Euler序列对的一些例子及应用
- 下一篇：数学教育中的研究性学习
摘 要:本文主要从正项级数敛散性的柯西判别法基本形式入手，引出正项级数敛散性柯西判别法的一系列相关推广，且加以详细的证明.并通过具体的实例，说明其应用.
毕业论文关键词:正项级数，敛散性,柯西判别法，Cauchy判别法的推广54191
Abstract: In this paper , Beginning with the basic form of the main criterion from the positive series convergence and pergence of Cauchy , leads to the positive series , Cauchy discriminant method a series of promotion , and a detailed proof . Finally , through the concrete examples , illustrates its application .
Keywords：Positive series, Convergence and pergence, Cauchy criterion, Promotion of Cauchy criterion
目 录
1 引言 4
2 预备知识 4
3 正项级数敛散性Cauchy判别法的介绍5
4 正项级数敛散性Cauchy判别法的推广6
4.1 广义Cauchy判别法一 6
4.2 广义Cauchy判别法二 7
4.3 广义Cauchy判别法三 8
5 广义Cauchy判别法的应用9
结束语 12
参考文献 13
致谢 14
1 引言
柯西是人类历史上突出的人物，在很多方面都有其突出的贡献，数学、物理、化学、生物等各个邻域都有所涉足，尤其是对数学的研究,更加体现了他在人类社会的重要地位,大大加快了社会生产力的发展.柯西在数学邻域的成就犹如满天繁星,而他在正项级数的敛散性判断方面有着自己的方法--柯西判别法.其中“正项级数”是《数学分析》课程中重要的内容之一，它的敛散性的判定不仅是一个重点，也是一个难点.“Cauchy判别法”是判定正项级数敛散性的一种有效方法，使用起来方便、快捷，但在使用“Cauchy判别法”的同时，我们发现，“Cauchy判别法”具有一定的局限性.本文主要从正项级数的基本定义入手，逐步探究“Cauchy判别法”的推广形式以及它的部分应用.
2 预备知识
定义1 设 ,则级数 称为（严格）正项级数.
定理1（比较原则）有 和 两个正项级数，若存在一个 （正数），对于一切的 都有：
则有：
(1)如果级数 收敛，则级数 也收敛；
(2)如果级数 发散，则级数 也发散.
定理2(正项级数收敛的充要条件)
正项级数 收敛的充要条件是它的部分和数列 有界.
证明（充分性）因为正项级数部分和数列 单调递增且有界，所以数列 收敛，它也就是等价于正项级数 收敛.
（必要性）因为 收敛，这也就等价于 收敛，根据数列收敛的定理知： 有界.
定理3(达朗贝尔判别法)
设 为正项级数,存在某 (正整数)和常数 .
(1)如果对于一切 ,成立不等式 ,则正项级数 收敛.
(2)如果对于一切 ,成立不等式
,则正项级数 发散.
3 正项级数敛散性Cauchy判别法的介绍
定理4（Cauchy判别法1)设 是正项级数，并且满足 .
(1)如果 ,那么级数 发散；
(2)如果 ,那么级数 收敛；
(3)如果 ，那么定理失效.
例1 试讨论正项级数 的敛散性.
解 令 ，那么当 时，有：
而当 时，有：从而 .
再由定理2知，此级数收敛.
在例题1中，如果我们使用比式判别法（达朗贝尔判别法），会得到： ，可见，比式判别法（达朗贝尔判别法）不可以判定出其敛散性，所以，我们研究Cauchy判别法就显得尤为重要.