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定理5 （Cauchy判别法2）设 是正项级数，
(1)如果从某一项开始（即存在 ，当 时），存在规律 （ 为常数），那么，有级数 收敛；
(2)如果从某一项开始， ，那么，有级数 发散.
例2 试判断级数 的敛散性.
解 运用定理2得,
， 显然，这样的极限是不存在的，运用定理2,3,4是无法解决的，下面，我们运用定理5来解决问题，有：
，那么由定理5知，原级数收敛.
注 凡是可以用比式判别法（达朗贝尔判别法）判定敛散性的正项级数一定可以使用根式判别法（Cauchy判别法）进行判断，这也是我们研究根式判别法的意义所在，它的级别更高，使用起来更加方便.源'自:751`!论~文'网www.751com.cn
4 正项级数敛散性Cauchy判别法的推广
4.1 广义Cauchy判别法一
定理6 设 是正项级数，若 （ 是大于1的正整数），那么：
（1）当 时，级数发散；
（2）当 时，级数收敛；
（3）当 时，级数可能收敛也可能发散.
证明 因为 ，由极限的定义知： 当 时，有：
,
当 时，有 足够小，使得 ，那么，存在 ，当 时，即 ，故而有 ，所以原级数 发散
当 时，有 足够小，使得 ，那么，存在 ，当 时， 成立，又因为 （m 1），而正项级数 收敛（ ），那么由比较判别法知，级数 收敛，所以原级数 收敛.
当 时，取 为 级数 ，那么，有: .
但是发现： 收敛， 发散，所以，当 时，级数可能发散也可能收敛.
4.2 广义Cauchy判别法二
定理7 设 是正项级数，如果 （其中 ）,那么：
(1)当 时，级数发散；
(2)当 时，级数收敛；
(3)当 时，级数可能收敛也可能发散.