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摘 要:在数学分析中有一个著名的Riemann定理，它断言条件收敛实常数项级数可以重排使之收敛到任一指定的实数.但是对于条件收敛复常数项级数来说，却没有这么漂亮的结论.本文以Riemann关于条件收敛实常数项级数重排的定理为基础，将条件收敛实级数的重排的方法用到研究条件收敛复常数项级数的重排当中，获得部分定理.本文首先叙述了实常数项级数的基本性质以及有关实常数级数重排的定理，详细介绍了黎曼定理的证明，然后利用这个方法研究了复常数项条件收敛级数，得到了部分结果.59735
毕业论文关键词：复级数，条件收敛，重排，Riemann级数定理
Abstract: In mathematical analysis, a famous theorems of Riemann states that conditional convergence real constant series can be rearranged to convergence to any real number. But for the conditional convergence complex constant series, it cannot draw a perfect conclusion. Based on the rearrangement of conditional convergence real constant series of Riemann’s theorem, the rearrangement methods of conditional convergence series used in the rearrangement of the conditional convergence complex constant series, and some theorems are obtained.This paper firstly describes the basic properties of real constant item series as well as the relevant real constant series rearrangement theorem. In addition,the proof of Riemann theorem was introduced in detail.Then the method was used to study the complex conditions of constant term convergent series, and some results are obtained.
Keywords: complex series, conditional convergence, rearrangement, Riemann rearrangement theorem
1 前言 4
2 实常数项级数6
2.1实常数项级数的基本性质 6
2.2 实数项级数重排后的性质 6
2.3 级数的重排与黎曼定理 8
2.3.1级数重排定义 8
2.3.2黎曼重排定理8
3 复常数项级数11
3.1复数项级数的基本性质11
3.2条件收敛的复常数项级数的性质及重排12
结论 15
参考文献16
致谢 17
1 前言
迄今为止，级数在微积分中一直发挥着重要的作用，许多数学家的研究也都大量地依靠着级数的使用.在平时的学习中，我们已经学过一些级数，比如数项级数，函数项级数，幂级数，傅里叶级数等，这些级数在一些数学研究的领域中使用的十分广泛，尤其是数项级数，它是级数理论的基础.根据我们平时所学的知识，了解到数项级数可分为收敛级数和发散级数，而收敛级数又可分为绝对收敛级数和条件收敛级数.我们大多时候是以研究实级数的情况居多，而本文就以实级数的重排后的敛散性为基础来研究条件收敛复级数重排后的敛散性.
1.1 早期级数的发展
早期的级数是以公比小于1的无穷级数的无穷几何级数的形式出现的，当时已有人发现这种级数有和.中世纪后期一些数学家还把级数用在物理科学研究方面，比如变速运动的物体走过的路程.1360年，著名数学家欧几里得在他的著作《欧几里得几何问题》中已经证明了级数 是发散级数.
由此可见，数学们这时已经开始识别收敛级数与发散级数了.1593年的时候，法国数学家韦达在他写的《各种各样的解答》一书中给出了一个无穷几何级数的求和公式.到了1647年，苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里在他的《几何著作》中，证明了无穷几何级数可用来解决阿基里斯追龟的悖论.就是说阿基里斯可以在一个确定的时间和地点追上乌龟，这也是格雷果里第一次明确指出，无穷级数的和可以用一个数来表示，这个数就称为级数的极限.牛顿经过一系列的研究，得到了许多表示代数函数和超越函数的级数，比如，他在1666年得到的 的级数和 的级数以及他在1669年的《分析学》中给出的 的级数.1670年，詹姆斯·格雷果里阅读了牛顿的《分析学》，之后在1671年又给出了 和 的级数，至于推导这些级数的方法，他还不清楚.直到1702年，才有数学家陆陆续续的推导出了这些级数.