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摘要仿射变化即平行投影变换，使我们解决初等几何证明更加简便. 这些方法虽然大多不能直接教给中学生，因为要很多的理论基础才能理解. 但它们能够帮助我们来重新思考问题，启发我们获得初等证明的方法，有时在用仿射几何来证明的过程能够帮助我们找到新的命题. 利用仿射几何来解决初等几何的某些问题十分简捷方便. 如果适当地运用仿射几何知识，在解决问题时，就会使问题简化，收到事半功倍的效果. 本文将探讨仿射几何的仿射不变性解决一些初等几何问题的方法. 54634
Affine transformation means parallel projection transform,it makes us more convenient to solve elementary geometry.Although we can’t teach them to high school student because it needs a lot of theory to understand,it can help us to rethink the problem and get the way to prove.It becomes more convenient to solve by using affine transformation.If we use affine transformation appropriate,it will be simplify in the process of solving the problem.I will talk about affine geometry’s affine invariant to solve elementary geometry in this paper.
Keyword：affine transformation;affine invariant;affine coordinate system; middle school mathematics;
目录1仿射几何的基本概念和基本性质 1
1.1 仿射几何的基本概念 1
1.1.1简比的概念 1
1.1.2仿射变化的概念 1
1.1.3仿射坐标系 1
1.2仿射变换的基本性质 2
1.2.1仿射不变量 2
1.2.1变积系数 2
2运用仿射变换来解决问题的一般步骤 3
2.1运用仿射变换来解决问题的一般步骤 3
2.2如何说明具有仿射不变性 4
2.2.1几何型的说明 4
2.2.2代数坐标型的说明 4
3利用仿射变换来解决中学数学 4
3.1解决共点，平行问题 4
3.2证明线段相等，成比例问题. 6
3.3解决面积相等，面积成比例问题 8
3.4在圆锥曲线中的应用 9
4仿射几何对中学数学的指导 13
参考文献 14
致谢 14
1仿射几何的基本概念和基本性质
1.1 仿射几何的基本概念
1.1.1简比的概念
设 为有向直线上的两个定点, 是这条有向直线上的另一点. 分有向线段 为两个有向线段 和 ，则其数量的比 叫做 的简比，记为 . 其中 叫做基点， 叫做分点.
1.1.2仿射变化的概念
平面(空间)的一个可逆变换，如果把共线点组变为共线点组，则称为平面(空间)的一个仿射变换[1].(参见[1],p13-p14)
1.1.3仿射坐标系
以前我们已经学过了笛卡尔直角坐标系，是首次体会到数形结合的优越性，把一些几何问题转换到笛卡尔坐标系中来解决. 笛卡尔仔细思考了现代几何学与代数学的优缺点，决定要去寻找另外一种“包含这两门数学分支的优点、尽量避开它们的缺点的学科”. 通过不断的探索发现，后来他创建了直角坐标系，进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以应用代数变换来发现其中几何性质，证明几何性质. 在直角坐标系中，两条数轴互相垂直且单位长度相等.