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. (2.3)
2.2 柯西不等式的一些等价式
等价式1 对任意的两组实数 ，有 ,当且仅当 .
上式又可以表示为向量形式，即对于任意的向量 有 ，其中，等号成立当且仅当 线性相关，这就是柯西—布涅柯夫斯基不等式.
等价式2 在（2.1）中，令 ，则 , 即
也就是,源.自|751,:论`文'网www.751com.cn
上式往往对处理分式不等式带来极大的方便.
等价式3 对任意的两组实数 ，有 ,
当且仅当 为常数时，上式取等号.进一步变形为 ，此式用来处理分式不等式常常带来方便.
等价式4 对任意的两组实数 ，有
等价式5 对任意的两组实数 ，有
当且仅当 ( 为常数， )时，上式等号成立.
2．3 柯西不等式的积分形式
柯西不等式与积分问题相联系，也有非常漂亮的结果.
定理 设 在 上可积，则
证明 因为 可积，由定积分性质，推得 都可积，及对任意实数 ， 也可积,又因为 ，所以有 .
即 由此推得关于 的二次三项式的判别式非正，即 ,
故 上式不等式就是所谓的施瓦兹不等式.
3 柯西不等式的应用
柯西不等式是非常重要的不等式，灵活巧妙地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的问题变的容易解决，亦可使一些复杂繁琐的题目简单化，从而拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率.在应用柯西不等式时，分析其结构，运用其解题的关键是构造两个数组 和 或多组数组，运用柯西不等式取等号的条件，以此达到解题的目的.
3.1 在解方程或方程组中的应用
解无理方程通常方法是将方程两边平方，从而将无理方程化为有理方程，但是计算量往往太大，有时甚至无法继续，若能巧妙的运用柯西不等式，利用柯西不等式取等号的特性，找到与原方程的关系，进而得到满足条件的 .柯西不等式在解决无理方程中有重要的应用，熟悉的掌握柯西不等式，对解决无理方程具有较大的帮助.