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我们希望通过我们的研究之后能够使得大家掌握使用自然数1来更巧妙地解决问题的方法，故我们收集了一些函数与不等式中的有关妙用自然数1的例题，并将其分类和分析，对这些问题进行了较为详细的研究.
2 自然数1在三角函数中的妙用
三角函数在我们熟知的函数中是比较特殊的函数.首先 ，所以任意的多项式或者单项式除以或乘以 ，原式计算结果的大小不变.其次，三角函数是周期函数，所以当我们根据三角函数的值反过来求角的大小时必须要考虑角所在的象限，然而有时根据题目条件是很难判断角在第几象限的，所以如果有什么技巧使我们跳过角的象限的判断的过程，就不但能使解题过程变的更简便，而且可以提高解题的正确率.另外，因为在三角函数中 、 ，所以如果 、 并且 ，那么通常我们可以用换元法令 和 .
2.1 的妙用
例1：已知 ，求 的值.
本题的通常解法是根据 和 ，求出 和 的值，然后将其代入等式中计算求值，但我们要注意判断角 在第几象限，这往往是容易产生错误的地方.同时在计算过程中我们发现由于求出来的 和 的值带有根号，导致其代入和计算过程容易出现错误，所以这里我们来介绍如何妙用自然数1来求值.
解：原式= 这里通过运用一个多项式除以1大小不变和 ，就避免了考虑角 在第几象限，使得计算变得更加简便.另外我们发现在计算过程中我们直接使用了条件中的 ，并没有对条件进行等价变形，既避免了条件变形过程中产生错误又充分理解了出题者的意图.