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证明 不妨设 为下三角的正交矩阵，则其逆 （下三角)等于其转置 （上三角)，所以 只能是对角矩阵，又 ，故可得 的主对角线上的元素只能为1或-1.证毕.
性质6 设 阶实矩阵 ， 都是正交矩阵，源.自|751,:论`文'网www.751com.cn
1)若 ，则 ;
2)当 为奇数时，则 .特别地，若 ，则 ;
证明 1)由得 .2)由当 为奇数时， .
特别地，当 时，有
当 为奇数时， ，即 .证毕.
若 阶实矩阵 是正交矩阵，则由 知 ，即 .行列式等于 的正交矩阵通常称为第一类正交矩阵;行列式等于 的正交矩阵称为第二类正交矩阵.
推论1 设 阶实矩阵 是第二类正交矩阵，则 ，且 为 的特征值.
证明 因为 阶实矩阵 是第二类正交矩阵， .由性质6知 ，故 ，即 为 的特征值.
推论2 设实矩阵 是奇数阶第一类正交矩阵，则 ，且 为 的特征值.
证明 因为实矩阵 是奇数阶第一类正交矩阵，所以 .由性质6知 ，故 .即1为 的特征值.
性质7 设 阶实矩阵 ， 都是正交矩阵，则:
1） ， ( 为自然数)， ， ， ， ， ， ，
都是正交矩阵;
2)若 是反对称矩阵，则 也是正交矩阵，且此时 .
注1 反对称矩阵是指 阶实矩阵 满足 .
证明 1)因为 阶实矩阵 ， 都是正交矩阵,所以 ， ，从而有
，所以 为正交矩阵.由性质1可知: ( 为自然数)， ， ，
， ， 均为正交矩阵.
又因为故 ， 都是正交矩阵.