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摘要：本文证明了利用行初等变换方法来求 －矩阵的逆矩阵的可行性, 并求出以 －矩阵为元素的矩阵方程的解. 另外还给出了 －矩阵在初等变换下的标准形, 并将这一理论应用于求多个一元多项式的最大公因式. 55761
毕业论文关键词： －矩阵, 行初等变换, 逆矩阵, 多项式, 最大公因式
Abstract: This paper proved the feasibility of inverse matrix - matrix using the elementary row transformation method, and calculate the matrix equation solution to matrix elements. Also give the elementary transformation of matrix in a standard form, and the greatest common pisor of this theory applied to the solution of a polynomial.
Key Words: A matrix, elementary transformation, inverse matrix, polynomial, the greatest common pisor
目 录
1. 引言 2
2. 基本概念与引理 2
3. 求含 —矩阵的矩阵方程的解 3
3. 1. 用行初等变换法来求 －矩阵的逆矩阵… 3
3. 2. 求 矩阵的矩阵方程的解… 5
4. 应用 —矩阵求多个一元多项式的最大公因式 7
结束语11
参考文献 12
1 引言
－矩阵是数字矩阵的推广，普通的数字矩阵的一些概念和性质可以直接推广应用到 －矩阵中去，但也有些不同，比如：矩阵的秩与矩阵可逆的关系. －矩阵的逆矩阵在求解矩阵方程、含参线性方程组以及工程计算方面都有着广泛的应用. 在这些应用中都涉及求 －矩阵的逆矩阵，但用传统方法求解 －矩阵的逆矩阵并不容易. 在求数字矩阵的方法中有一种行（列）初等变换法是较简单的方法. 能否用求数字矩阵的逆矩阵的方法求 －矩阵的逆矩阵并判断 －矩阵是否可逆就显得较为重要，本文给出了类似于数字矩阵求逆矩阵的方法来求 －矩阵的逆矩阵，并给出具体例子加以理解. 除此之外， －矩阵在求多个一元多项式的最大公因式中也有应用，基本的辗转相除法繁琐且易错，本文给出了利用 －矩阵求解多个一元多项式的最大公因式的方法并给出具体例子.
2 基本概念与引理
定义2. 1 设 是一个数域, 是一个文字, 作多项式环 . 一个矩阵, 如果它的元素是 的多项式, 即 的元素, 就称为 -矩阵.
定义2. 2 下面三种初等变换称为 -矩阵的初等变换:
(1) -矩阵的两行(列)互换位置;
(2) -矩阵的某一行(列)乘以非零的常数 ;
(3) -矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 倍, .
定义2. 3 将单位矩阵 作相应的 -矩阵的初等变换后, 所得到的 -矩阵称为初等 -矩阵. 分别记为 , , .
定义2. 4 对角形 -矩阵
称为 -矩阵的标准型. 其中 ≥ , 是首项系数为 的多项式, 且 , .
定义2. 5 一个 的 －矩阵 称为可逆的, 如果有一个 的 －矩阵 使 , 矩阵 称为 的逆矩阵, 记为 .
定义2. 6 上述标准形中主对角线上非零元素 , …, 称为 －矩阵 的不变因子.
定义2. 7 如果 －矩阵 中有一个 r( r≥1) 级子式不为零, 而所有 级子式( 如果有的话) 全为零, 则称 的秩为 .零矩阵的秩规定为零.
引理2. 1 一个 的 -矩阵 可逆的充分必要条件是 为一个非零常数.