,其中 , 是整系数多项式,且
, ,由题目条件知,对于任意的整数 ,都有 为素数,即 为素数,则 , 中必有一个为1或-1.又知 是无限个的,而 , 的次数是有限的,所以
,四个式子中至少有一个对于无限个 成立,即 中有一个为常数,即
或 , 或 ,
而此时 .与已知条件矛盾,故结论成立.
3.1.2 关于互素多项式的问题
例2 设多项式 , 全不为零,若对于任意满足 , 的多项式 都有 ,则 =1.
分析 题目中已知 为任意多项式,且满足如上条件,由于满足条件的 的个数有无限多个,我们无法一一列举进行证明,所以不妨找到一个反例,只要有一个 ,使得 , 不互素,事实上,对于我们要寻找的满足上述条件的 是不存在的.用反证法,无需寻找所有的 ,只要能找到一个反例即可