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于求解无界区域内的定解问题，但它却可以不受方程类型的限制。同时，我们也注意
到，分离变量法、积分变换法这两种方法所给出的解一般还分别具有无穷级数与无穷
积分的形式。
本篇论文中，我将介绍求解数学物理方法边值问题的另外一种重要方法——格
林函数法。与分离变量法、积分变换法不同的是：格林函数法给出的是一种有限的积
分形式解，非常便于人们进行理论分析和研究。
从物理学上看，一个数学物理方程在大多数情况下通常表示一个特定“场”和
产生这种场的“源”之间的关系。例如:热传导方程表示的是温度场和热源之间的关
系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系，等等。这样，当源被分解成诸
多点源的叠加时，如果通过一个方法知道各点源产生的场，在利用叠加原理，我们即
可求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法被称为格林函数
法，同时点源产生的场也就是格林函数。
2 概论
2．1 三类典型方程
2．2 定解条件和定解问题
边界条件
第一类边界条件：在边界上直接给出了未知函数u的数值，即
第二类边界条件：在边界上给出了未知函数 u 沿的外法线方向的方向导数，即
第三类边界条件：在边界上给出了未知函数u 与u沿的外法线方向的方向导数的
线性组合的值，即
这里的
） ， ，3 2 1 )( ( i t fi
都是定义在边界上的已知函数，若
） ， ，3 2 1 ( 0 ) ( i t fi
，则称相
应的边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。
初始条件
初始条件和边界条件统称为定解条件，一个偏微分方程连同与它相应的定解条件
组成一个定解问题。
（1）由泛定方程和初始条件构成的问题称为初值问题或柯西（Cauchy）问题。（没
有边界条件）。
（2）由泛定方程和边界条件构成的问题称为边值问题。（没有初始条件）
（3）既有初始条件、又有边界条件的定解问题称为混合问题。 2．3
函数
物理学常常要研究一个物理量在空间或时间中的分布密度，例如质量密度、电荷
密度、每单位时间传递的动量等等。但是物理学又常常用到质点、点电荷、瞬时力等
抽象模型，它们不是连续分布于空间或时间中，而是集中在空间的某一点或时间的某
一瞬时。为此，我们引入函数[1]以描述其密度： 上图即为
) ( 0 x x
的示意图，曲线的“峰”无限高，但是“宽度”无限窄，曲线下的
面积是有限值1。函数，位于0 x
而质量为 m的质点的线密度分布为) ( 0 x x m
；位于0 x而电
量为 q 的点电荷的线密度为) ( 0 x x q
；作用于时刻0 t
而冲量为 K 的瞬时力为) ( 0 t t K
。 2．4 冲量定理[2]
(齐次化原理）（Duhamel 原理）
下面我们以求解三文非齐次波动方程的处置问题为例。