1. 格林公式证明方法的探讨
格林公式:设 为逐段光滑曲线 围城的有界闭区域,函数 及 在 上连续,则有:
(1)
这里 为区域 的边界曲线,并取正方向.
公式(1)称为格林公式.
1.1 利用二重积分化为累次积分证明格林公式
证 根据区域 的不同形状,一般可分三种情形来证明:
(i)若区域 既是 型区域又是 型区域,即平行于坐标轴的直线和 至多交于两点.这是区域 可表示为
这里 和 分别为曲线 和 的方程,而 和 则分别是曲线 和 的方程,于是
同理可证得将上述两个结果相加既得:
(ii) 若区域 是由一条按段光滑的闭曲线围成,如图所示,则先用几段光滑曲线将 分成有限个既是 型又是 型的子区域,然后逐块按(i)得到它们的格林公式,并相加即可.
如图所示的区域 可将 分成三个既是 型又是 型的区域 于是
(iii) 若区域 由几条闭曲线所围成,这时可适当添加直线段 把区域转化为(ii) 的情况来处理,连接了 后,则 的边界曲线由 及 构成,经过分析我们可以得到,由(ii)可以知
1.2 利用含参量积分证明格林公式
引理1.1 设 在 上连续, 为定义在 上其值域为含于 上的可微函数,则函数
在 上可微,且.
证 (i)当区域 为 —型区域时.如图 则由引理1.1 知
(ii)当D为y型区域时证法同上.
(iii)当D为一般区域时;
因D可细分成n个X—型或n个Y—型区域,或n个X—型和m个Y—型区域的混合型区域,故可仿照(i)、(ii)同样证得公式成立.
1.3 利用二重积分的分部积分法证明格林公式
引理1.2 设 是区域D= 上的连续函数, 为定义在 的可微函数,如果函数
引理1.3 设 是区域D= 上的连续,a 为定义在 上的可微函数,如果函数
则 设 证 不失一般性,设区域 如图 1所示,则有引理1.2 及第二型曲线积分的
计算公式,有 在引理1.3的条件下,设区域 的边界曲线为 ,则有
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