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摘要：高斯取整函数是非常重要的数论函数之一, 在数论中占有很重要的地位. 它有许多特殊的性质, 在众多的数学分支中都能看到它们的身影. 例如, 离散数学、 数论、 计算机算法分析等等. 而本文主要通过对取整函数的起源、 性质以及应用等方面的讨论来全面的认识取整函数.59185
毕业论文关键词：取整函数；起源；性质；应用
Abstract: Gauss integral function is one of the very important number theory function. It plays a very important role in number theory. It has many special properties and we can see it be used in many fields: the Discrete Mathematics, the Number theory, and the Analysis of computer algorithms. This paper mainly discuss es the origin, properties and applications of the integral function to help us understand the integral function comprehensively.
Keywords: The integral function; The origin; The properties; The application
目录
1 前言3
2 取整函数的性质3
3 取整函数的应用4
3.1 取整函数在趣数学题中的应用4
3.2 取整函数在数学竞赛和中学数学中的应用5
3.3 取整函数在数论中的应用7
3.4 取整函数在计算机中的应用8
结论10
参考文献11
致谢12
1 前言
说到取整函数就不得不谈到数学家高斯, 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家, 和阿基米德、牛顿并列, 为人们所崇拜和敬仰,他的成就遍及数学的各个领域，他十分注重数学的应用价值, 也偏重于用数学方法研究其它领域的问题.今天我们主要研究他的一个创造性的函数——取整函数. 取整函数是由数学王子高斯最先应用于他的一篇论文中的, 人们为了纪念他, 就把这个函数命名为高斯函数，也叫取整函数，通常用符号 来表示. 它是一个定义在实数集 上的函数, 表示不超过 的最大整数, 即实数 满足 < . 我们也称 是 的整数部分. 由定义我们可以准确地画出它的图像, 如图1.1 ：
根据高斯取整函数的定义我们已经画出了它的图像, 而图像是我们认识新事物最直接和快捷的方式. 通过对图像的观察, 我们可以直观的看出：
性质1 取整函数是一个分段不减的无界函数,即对任意 1, 2 , 若x1 x2, 则[ 1] [ 2].
性质2 函数 的定义域是 , 值域是 .
上面两个性质是我们在图像上看出来的, 除了这些由图像直观感知的性质以外, 取整函数还有有许多自身独特的性质, 通过对这类性质的理解, 能有助于我们更深入的了解取整函数, 下面就给出它的一些其它性质.
2 取整函数的部分性质
性质作为一个函数的灵魂，因为有它们的存在，函数才变得饱满鲜活起来，对于取整函数同样如此, 性质赋予了它多样的特性, 既让它自成一体, 又与其它领域产生联系, 这就是性质的重要性. 通过对这类性质的理解, 能有助于我们更深入的了解取整函数, 下面就给出它的一些其它性质.
性质3 对任意 ,均有 < < +1.
性质4 若 , ,则有 = .
性质5 = .
性质6 若 ，则 .
性质7 若 , ,则 .
如果说性质是一个函数的灵魂, 那么应用就是一个函数灵魂的具体表现, 不管在任何领域, 任何发现或创造的存在价值在于它能够对人类社会做出贡献，如果失去了它的应用价值, 那么, 不管这一发现或创造有多么的惊人, 它的存在是没有任何的现实意义的. 取整函数就是这样一个能够被人类应用到社会生活的有用函数.
3 取整函数的应用
取整函数的性质虽然看似简单, 但却在许多领域中发挥着重要的作用, 首先我们就来看看高斯函数在数学领域中的应用：